문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 핵심:
"일의 자리"는 어떤 수를 10으로 나눴을 때의 나머지예요. 큰 수도 일의 자리만 보면 패턴이 짧게 반복돼요.
유형 2 · H3
$A = 2^{100}$의 일의 자리 숫자를 구하세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$2^{100}$을 다 계산할 순 없죠. 그런데 일의 자리만 본다면? $2^1, 2^2, 2^3, \ldots$을 직접 써보고 일의 자리만 모아 보세요. 무언가 보일 거예요!
1단계 · Page 1
$2^n$의 일의 자리 패턴 관찰
왜 이 단계? — 작은 $n$부터 직접 계산하면서 일의 자리에 어떤 규칙이 생기는지 찾아봐요.
📖 팁:
어떤 수의 일의 자리는 곱하는 수의 일의 자리만 보면 충분해요. (예: $16 \times 2$의 일의 자리는 $6 \times 2 = 12$의 일의 자리, 즉 $2$)
직접 써보기
| $n$ | $2^n$ | 일의 자리 |
|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 8 | 8 |
| 4 | 16 | 6 |
| 5 | 32 | 2 |
| 6 | 64 | 4 |
| 7 | 128 | 8 |
| 8 | 256 | 6 |
일의 자리 패턴: 2, 4, 8, 6 이 무한히 반복! (주기 = 4)
2단계 · Page 2
$n = 100$이 주기의 몇 번째일까?
왜 이 단계? — 주기가 4이므로 $n$을 4로 나눈 나머지를 보면 패턴 위치가 결정돼요.
100을 4로 나누기
$100 \div 4 = 25$ 나머지 $0$
나머지가 $0$이라는 건 "주기를 딱 끝낸 위치"라는 뜻. 즉, 주기의 4번째(마지막) 자리예요.
규칙 정리
| $n \bmod 4$ | 예시 $n$ | 일의 자리 |
|---|
| 1 | 1, 5, 9, … | 2 |
| 2 | 2, 6, 10, … | 4 |
| 3 | 3, 7, 11, … | 8 |
| 0 | 4, 8, 12, …, 100 | 6 |
$100 \bmod 4 = 0$ → 일의 자리 $= 6$
⚠️ 흔한 실수
"$100 \div 4 = 25$이니 25번째라서…" 처럼 몫에만 집중하지 마요. 나머지가 핵심이에요. 나머지 0이면 "주기 끝", 즉 4번째 값.
3단계 · Page 3
결론
왜 이 단계? — 패턴과 위치를 결합해 답을 확정.
최종
$2^{100}$의 일의 자리 = 주기 (2,4,8,6)의 4번째 = 6
💡 검산 팁
$2^4 = 16$, 일의 자리 6. $2^8 = 256$, 일의 자리 6. 4의 배수 자리는 모두 6이에요. $100$은 4의 배수니까 맞아요!
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 기법:
거듭제곱의 일의 자리는 주기 패턴으로 찾는다. 지수를 주기로 나눈 나머지가 위치.
$2^{100}$의 일의 자리 $= 6$
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
$2^1, 2^2, 2^3, \ldots$ 직접 써서 일의 자리 패턴 확인
2
패턴 발견: $2, 4, 8, 6$ 반복 (주기 = 4)
3
$100 \div 4 = 25$ 나머지 $0$ → 주기의 4번째 위치
4
4번째 값 = $6$ → $2^{100}$의 일의 자리는 $6$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
나머지가 0일 때 "0번째" 라고 착각해서 첫 항(2)을 답으로 쓰는 실수가 많아요. 나머지 0은 "주기 마지막 항"(=주기 길이번째)이에요.