문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어·기호:
$a^{m+n} = a^m \times a^n$ — 같은 밑끼리 곱하면 지수는 더해져요.
유형 2 · H2
$3^{n+1} - 3^n$을 $3^n$을 이용하여 간단히 나타내세요.
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$3^{n+1}$과 $3^n$ 사이에 어떤 관계가 있을까요? 두 항에서 같은 부분(공통인수)을 묶어낼 수 있을지 살펴봐요.
1단계 · Page 1
$3^{n+1}$의 의미를 풀어보기
왜 이 단계? — 지수 식을 곱셈으로 풀어쓰면 공통 부분이 눈에 보여요.
📖 핵심 성질:
$a^{m+n} = a^m \times a^n$ (같은 밑끼리 곱 = 지수의 합)
지수 분해
$n+1$은 $n$과 $1$의 합이에요. 이걸 거듭제곱 성질로 풀면:
$3^{n+1} = 3^{n+1} = 3^n \times 3^1 = 3^n \times 3$
즉, $3^{n+1}$은 "$3^n$에 $3$을 한 번 더 곱한 것"이에요.
🤔 작은 수로 확인
$n=2$로 해보면: $3^{2+1} = 3^3 = 27$, $3^2 \times 3 = 9 \times 3 = 27$. 맞아요!
2단계 · Page 2
원식을 다시 쓰기
왜 이 단계? — 1단계 결과를 원래 식에 대입해서 공통인수를 보이게 만들어요.
대입
$3^{n+1} - 3^n$에서 앞부분을 바꾸면:
$3^{n+1} - 3^n = (3^n \times 3) - 3^n$
두 항 모두에 $3^n$이라는 공통인수가 들어 있어요.
3단계 · Page 3
공통인수로 묶기 (분배법칙 반대로)
왜 이 단계? — "공통인수 ×(나머지)" 형태로 묶으면 $3^n$만 남기고 간단해져요.
📖 핵심:
$ab - ac = a(b - c)$ — 같은 인수 $a$를 밖으로 빼내요.
묶기
$3^n \times 3 - 3^n = 3^n \times 3 - 3^n \times 1$
$= 3^n \times (3 - 1)$
$= 3^n \times 2$
정리하면:
$3^{n+1} - 3^n = 2 \times 3^n$
⚠️ 흔한 실수
"$3^{n+1} - 3^n = 3^1 = 3$" — 절대 아니에요! 지수가 같아 보여도 덧셈·뺄셈은 지수끼리 빼는 게 아니에요. 곱셈·나눗셈일 때만 지수 더하기·빼기가 됩니다.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 기법:
"거듭제곱의 덧셈·뺄셈은 공통인수 묶기로 정리한다."
$3^{n+1} - 3^n = 2 \times 3^n$
전체 풀이 흐름 — 3단계
1
$3^{n+1} = 3^n \times 3$ — 지수 법칙으로 풀어쓰기
2
$3^{n+1} - 3^n = 3^n \times 3 - 3^n$ — 공통인수가 보임
3
$3^n \times (3 - 1) = 3^n \times 2 = 2 \times 3^n$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
거듭제곱이 덧셈/뺄셈으로 묶여 있을 때는 지수 법칙(곱셈·나눗셈 규칙)을 그대로 못 써요. 공통인수를 묶어 "곱셈 형태"로 바꾼 다음에야 간단해집니다.