문제 · Page 0
단계별로 풀어볼까요?
정답은 마지막에 확인해요. 먼저 스스로 생각해보고, 막히면 다음 단계로 넘어가세요.
📖 용어·기호:
$a^n$ = 밑이 $a$, 지수가 $n$인 거듭제곱. $a$를 $n$번 곱한 값.
유형 2 · H1
$2^{10}$과 $3^6$의 크기를 비교하세요. (단, 계산기 사용 불가)
🤔 잠깐, 손으로 생각해보세요
$2^{10}$은 2를 10번 곱한 값, $3^6$은 3을 6번 곱한 값. 직접 다 곱하긴 힘드니까, 어떻게 작은 단위로 쪼개볼 수 있을까요?
1단계 · Page 1
큰 거듭제곱을 작은 덩어리로 쪼개기
왜 이 단계? — 한 번에 계산이 어려운 큰 수는 익숙한 작은 거듭제곱으로 분해하면 손계산이 가능해져요.
📖 기호:
$(a^m)^n = a^{m \times n}$ — 거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱해요.
$2^{10}$을 쪼개기
$10 = 5 \times 2$이므로:
$2^{10} = 2^{5 \times 2} = (2^5)^2$
$2^5 = 32$ (외워두면 좋아요!)
$2^{10} = 32^2$
$3^6$을 쪼개기
$6 = 2 \times 3$이므로:
$3^6 = 3^{2 \times 3} = (3^2)^3$
$3^2 = 9$
$3^6 = 9^3$
2단계 · Page 2
실제 값을 계산해요
왜 이 단계? — 쪼개진 형태에서 손계산으로 값을 구해 직접 비교 가능하게 만들어요.
📖 팁:
$32 \times 32$나 $9 \times 9 \times 9$는 손으로도 충분히 계산 가능해요.
$2^{10} = 32^2$ 계산
$32 \times 32 = 32 \times 30 + 32 \times 2$
$= 960 + 64 = 1024$
따라서 $2^{10} = 1024$
$3^6 = 9^3$ 계산
$9 \times 9 = 81$
$81 \times 9 = 729$
따라서 $3^6 = 729$
3단계 · Page 3
비교!
왜 이 단계? — 양변의 정확한 값을 알았으니 단순히 크기 비교만 하면 끝.
두 값 비교
$2^{10} = 1024$
$3^6 = 729$
$1024 > 729$이므로:
$\boxed{2^{10} > 3^6}$
⚠️ 흔한 실수
"밑이 큰 수($3 > 2$)니까 $3^6$이 더 크다"고 단정하면 틀려요! 지수와 밑을 같이 봐야 해요. 지수가 훨씬 크면 밑이 작아도 더 클 수 있어요.
정답 · Page ★
정답 + 풀이 흐름 요약
📖 핵심 기법:
$(a^m)^n = a^{m \times n}$ — 지수를 분해해서 익숙한 작은 거듭제곱으로 바꾸기.
$2^{10} > 3^6$
($1024 > 729$)
전체 풀이 흐름 — 4단계
1
$2^{10} = (2^5)^2 = 32^2$ — 지수 10을 5×2로 분해
2
$3^6 = (3^2)^3 = 9^3$ — 지수 6을 2×3으로 분해
3
$32^2 = 1024$, $9^3 = 729$ — 손계산으로 실제 값 구하기
4
$1024 > 729$ → $2^{10} > 3^6$
⚠️ 이 유형의 핵심 함정
"밑이 큰 쪽이 더 크다"는 단순 비교는 거듭제곱에서는 통하지 않아요. 지수 차이가 크면 결과가 뒤집힐 수 있어요. 항상 같은 형태(예: 같은 밑 또는 같은 지수)로 맞춘 뒤 비교하는 게 안전합니다.