"검사 정확도 90%인데 양성이 나왔다. 실제로 병이 있을 확률은?" 대부분 90%라고 답하지만, 흔한 병이 아니라면 답은 10%도 안 될 수 있어요. 의사도 자주 틀리는 문제예요. 비밀은 공식이 아니라 표예요. 사람 10,000명을 2×2 표에 채워 넣으면 답이 그냥 보여요. 조건부확률은 "조건에 맞는 사람들만 남기고, 그 안에서 비율을 다시 재는 것", 즉 분모를 바꾸는 것이에요.
어떤 병의 검사예요. 슬라이더를 움직여 병이 있는 사람의 비율(유병률), 병이 있을 때 양성이 나올 확률(민감도), 병이 없을 때 음성이 나올 확률(특이도)을 정하세요. 표가 채워지고, 아래 막대에서 양성인 사람들만 모아 그중 진짜 병이 있는 사람이 얼마나 되는지 보세요.
유병률 (병 있는 비율)1%
민감도 (병 → 양성)90%
특이도 (건강 → 음성)90%
10,000명
양성 판정
음성 판정
합계
병 있음
병 없음
합계
10,000
양성 판정을 받은 사람들만 모으면 → 진짜 병 vs 건강한데 양성(거짓 양성)
$P(\text{양성}\mid\text{병})$ 민감도
$P(\text{병}\mid\text{양성})$ 양성일 때 진짜 병
두 숫자가 얼마나 다른지 보이나요? "병이 있을 때 양성"(민감도)과 "양성일 때 병"은 분모가 달라요. 앞은 병 있는 사람(첫 행)이 분모, 뒤는 양성인 사람(첫 열)이 분모예요. 병이 드물면 건강한 사람이 워낙 많아서, 그중 몇 %만 거짓 양성이 나와도 진짜 환자 수를 압도해요. 유병률을 0.5%로 내려 보세요.
함께 생각하기 ①
유병률 1%, 민감도 90%, 특이도 90%일 때(초깃값) 양성 판정을 받은 사람 중 실제로 병이 있는 사람은 약 몇 %인가요? (소수 첫째 자리까지, 예: 12.3)
2공식은 외우는 게 아니라 읽는 것
위젯에서 한 일을 글자로 쓰면 조건부확률의 정의예요. "B가 일어났다"는 조건이 붙으면, 전체 대신 B만 남기고 그 안에서 A의 비율을 재요.
표에서는 "B 행(또는 열)의 합계"가 분모, 그 행 안의 A 칸이 분자. 사람 수로 세도 비율은 같다.
이 식의 분모를 양변에 곱하면 곱셈정리예요. "B가 일어나고, 그다음 A가 일어날" 확률은 두 단계 확률의 곱. 나무그림의 가지를 따라 곱하는 것이 이거예요.
$P(A\cap B)=P(B)\,P(A\mid B)$ — 가지를 따라 곱한다
주머니에서 공 2개를 연달아 꺼내기: 첫 번째 빨강 × (첫 번째가 빨강이었을 때) 두 번째 빨강.
첫 번째빨강 $\tfrac{3}{5}$ · 파랑 $\tfrac{2}{5}$ (빨강 3, 파랑 2)두 번째 (빨강 다음)빨강 $\tfrac{2}{4}$ · 파랑 $\tfrac{2}{4}$ → 둘 다 빨강 $=\tfrac35\times\tfrac24=\tfrac{3}{10}$
독립은 조건이 붙어도 확률이 안 바뀌는 것. B가 일어났다는 소식이 A의 확률에 아무 영향이 없으면 독립이에요. 그때 곱셈정리는 단순한 곱이 돼요.
$A, B$ 독립 $\iff P(A\mid B)=P(A) \iff P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$
판정은 마지막 식으로: 표에서 P(A∩B)와 P(A)P(B)를 계산해 같은지 본다. 같은 시행을 반복(독립시행)하면 매번 독립.
배반($A\cap B=\varnothing$)과 독립은 다르다
배반이면 P(A∩B)=0이라 오히려 "B가 일어나면 A는 불가능" — 강하게 종속이다. 두 단어를 섞지 않기.
함께 생각하기 ②
한 반 30명 중 남학생 18명, 그중 안경을 쓴 남학생이 6명이에요. 남학생 한 명을 뽑았을 때 안경을 썼을 확률은? (분수는 1/3 처럼)
32×2 표 채우기 — 핵심 도구
조건부확률 문제는 표부터 그려요. 행에 한 기준(남/여, 병/건강), 열에 다른 기준(안경/맨눈, 양성/음성). 칸을 채우고, "…일 때"에 해당하는 행이나 열의 합계를 분모로 잡아요. 공식은 그다음이에요.
문장
분모
분자
남학생일 때 안경 쓸 확률 $P(\text{안경}\mid\text{남})$
남학생 행 합계
남 ∩ 안경 칸
안경 쓴 사람일 때 남학생일 확률 $P(\text{남}\mid\text{안경})$
안경 열 합계
같은 칸!
(조건 없이) 안경 쓴 사람일 확률 $P(\text{안경})$
전체
안경 열 합계
불변 앵커 조건부확률은 분모를 바꾸는 것. "…일 때"가 가리키는 집단의 합계가 새 분모, 분자는 두 조건이 겹치는 칸.
표 채우기 연습이에요. 숫자가 매번 바뀌어요. 분수로 답해도 돼요.
4유형별 완전정복
네 유형 모두 표 또는 나무그림을 먼저 그리면 풀려요. 답은 분수(3/10)나 소수(0.3) 어느 쪽으로 써도 돼요.
①
표에서 읽기
P(A|B)와 P(B|A)는 다르다
핵심 "…일 때"의 집단 합계가 분모. 같은 칸을 분자로 쓰더라도 분모가 다르면 값이 다르다.
②
곱셈정리 · 나무그림
가지를 따라 곱한다
핵심 연달아 꺼내면(비복원) 두 번째 가지의 분모는 하나 줄어든다. 가지 끝까지 곱하고, 여러 가지면 더한다.
③
독립
서로 영향 없음 → 곱
핵심 독립이면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. "적어도 하나"는 $1-$(둘 다 아닐 확률). 독립인지 아닌지는 문제가 알려 주거나 표로 판정.
④
검사 문제
양성일 때 진짜일 확률
핵심 10,000명을 표에 채운다. 양성 열의 합계(진짜 양성 + 거짓 양성)가 분모, 진짜 양성이 분자.
5실전 총정리 — 유형 섞어서
어떤 유형인지 알려주지 않아요. 표부터 그리세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.
6마무리 치트시트
🧮 조건부확률 한 장 요약
정의$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ · 분모를 B로
도구2×2 표 → "…일 때" 집단의 합계가 분모
곱셈정리$P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$ · 나무그림 가지 곱
독립$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ · 배반과 다르다
검사 문제10,000명 표 · 양성 열 합계가 분모
한 문장조건부확률은 분모를 바꾸는 것
📌 어른이 되어도 기억할 것
"정확도 99%"와 "양성이면 99%"는 다른 말. 드문 병일수록 양성의 대부분이 거짓 양성이에요. 건강검진 결과를 볼 때 평생 쓰는 상식이에요.
표를 그리면 공식이 필요 없다. 확률 문제의 절반은 "분모가 무엇인가"를 잘못 잡아서 틀려요.
배반과 독립은 반대에 가깝다. 배반은 하나가 일어나면 다른 것이 불가능한 것, 독립은 아무 영향이 없는 것.
💡 조건부확률이 세상을 읽는 법
스팸 필터는 "이 단어가 있을 때 스팸일 확률"을, 내비는 "지금 이 도로가 막힐 때 저 도로도 막힐 확률"을, 의사는 "이 증상일 때 이 병일 확률"을 계산해요. 새 정보가 들어오면 분모를 바꿔 확률을 갱신하는 것, 이것이 통계학과 인공지능이 "배운다"고 말하는 방식이에요. 🎓 이 갱신 규칙을 베이즈 정리라고 부르는데, 교과서 용어는 아니에요.
🏠 이미 보고 있던 곳
건강검진 재검 통보(양성이어도 대부분 정상), 일기예보 "비 올 확률"(지금 조건에서의 확률), 스팸 메일함, 카드사의 "이상 거래 의심" 문자, 게임의 "확률형 아이템" 공지.
🏭 이걸로 먹고사는 사람들
의료 통계·역학(검사 민감도·특이도 설계), 보험 계리(사고 이력이 있을 때의 사고 확률), 데이터 과학·머신러닝(분류 모델은 조건부확률 추정기), 품질 관리(불량 검출기의 거짓 양성률), 법정 통계(증거가 있을 때 유죄일 확률). 🎓 통계학 · 의학·보건학 · 컴퓨터공학 · 경영·보험계리