"필요조건인가 충분조건인가"에서 머리가 하얘지나요? 그럴 수 있어요. 이 단원은 계산 단원이 아니라 국어 독해 단원이에요. 문장을 집합 그림으로 번역하고, 화살표 방향 하나만 읽으면 끝나요. 국어를 잘 읽는 사람이 오히려 유리한 곳이에요. 그 번역 규칙을 여기서 끝내요.
$A$는 축구를 좋아하는 사람, $B$는 야구를 좋아하는 사람이라고 해요. 아래 그림의 영역을 눌러서 색칠해 보고, 버튼으로 이름을 확인해 보세요. 집합 기호는 전부 "어느 영역이냐"를 가리키는 말이에요.
"둘 다"는 겹친 부분($\cap$), "적어도 하나"는 합친 부분($\cup$), "~는 아니다"는 바깥($^{c}$). 그리고 "A이지만 B는 아니다"가 차집합 $A-B$예요. 일상어와 기호가 1:1로 대응해요.
$U=\{1,2,\dots,10\}$, $A$는 짝수의 집합, $B$는 3의 배수의 집합일 때 $n(A\cup B)$는? (그림으로 세어 보세요)
원소의 개수 공식은 그림에서 바로 읽혀요. $A$와 $B$를 따로 세면 겹친 부분을 두 번 세게 되니까, 한 번 빼 주는 거예요.
드모르간 법칙은 부정을 옮기는 규칙인데, 일상어로 읽으면 당연해요. "축구도 야구도 아니다"는 "축구 또는 야구를 좋아한다"의 반대잖아요. 부정이 들어가면서 "또는"이 "그리고"로 바뀌는 거예요.
이제 명제. "$p$이면 $q$이다"가 참이라는 말은, $p$인 것들이 전부 $q$인 것들 안에 들어 있다는 뜻이에요. 조건 $p$를 만족하는 것들의 집합을 진리집합 $P$라고 하면, 화살표는 그냥 포함 관계예요.
충분조건·필요조건은 이 화살표에 붙이는 이름일 뿐이에요. $p \Rightarrow q$일 때, $p$는 $q$이기 위한 충분조건("서울에 살면 한국에 사는 데 충분하다"), $q$는 $p$이기 위한 필요조건("한국에 사는 것은 서울에 살기 위해 필요하다"). 읽는 요령: 작은 집합(조건이 더 빡빡한 쪽)이 충분조건이에요.
마지막으로 대우. $p \Rightarrow q$가 참이면 $\sim q \Rightarrow \sim p$도 반드시 참이에요. 그림으로 보면 $P \subset Q$일 때 $Q$의 바깥은 $P$의 바깥 안에 있다는 것과 같은 말이거든요. 역($q \Rightarrow p$)과 이($\sim p \Rightarrow \sim q$)는 참이 아닐 수 있어요.
$n(A)=12$, $n(B)=9$, $n(A\cap B)=4$ 일 때 $n(A\cup B)$는?
충분·필요 문제는 전부 이 순서로 풀어요: ① 조건을 진리집합으로 번역 → ② 어느 쪽이 작은지(포함) 확인 → ③ 작은 쪽 = 충분, 큰 쪽 = 필요. 부등식 조건은 수직선에 그리면 포함 관계가 바로 보여요. 슬라이더를 움직여 보세요.
| $p$ | $q$ | 진리집합 | $p$는 $q$이기 위한 |
|---|---|---|---|
| $x=2$ | $x^2=4$ | $\{2\}\subset\{-2,2\}$ | 충분조건 |
| $x$는 4의 배수 | $x$는 2의 배수 | $P\subset Q$ | 충분조건 |
| 어떤 사각형이 직사각형 | 그 사각형이 정사각형 | $Q\subset P$ | 필요조건 |
| $x=1$ | $2x=2$ | $P=Q$ | 필요충분조건 |
| $x>2$ | $x<5$ | 어느 쪽도 포함 아님 | 어느 것도 아님 |
이 단원 문제는 네 가지예요. 전부 문장 → 집합 → 그림 순서로 번역하면 풀려요. "다른 문제로"를 눌러 숫자와 조건이 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.
어떤 유형인지 알려주지 않아요. 문장을 읽고 스스로 번역해서 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.
if (A && !B)는 정확히 $A\cap B^{c}$예요. "모든·어떤"의 부정, 대우와 귀류법으로 하는 증명, 절대부등식은 단원 앱에서 이어서 다뤄요.