📊 집합의 연산 법칙
✅ 드모르간 법칙
여집합을 나눠 쓸 때 부호가 뒤집힌다.
$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ · $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
말로: "합집합의 여집합 = 여집합의 교집합" (∪ ↔ ∩ 뒤바뀜).
✅ 원소의 개수
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
겹치는 부분 $n(A \cap B)$ 를 두 번 세었으니 한 번 빼 준다. (포함·배제)
🔎 예제
어떤 반 30명 중 축구를 좋아하는 학생 18명, 농구를 좋아하는 학생 15명, 둘 다 좋아하는 학생 7명이면? 둘 중
하나라도 좋아하는 학생 $= 18 + 15 - 7 = 26$ 명. 둘 다
안 좋아하는 학생 $= 30 - 26 = 4$ 명.
부분집합·포함관계
A의 모든 원소가 B에 있으면 A는 B의 부분집합($A \subset B$). 원소 $n$ 개인 집합의 부분집합은 $2^n$ 개, 진부분집합은 $2^n - 1$ 개. 공집합 $\varnothing$ 은 모든 집합의 부분집합.
⚠️ $\in$ 과 $\subset$ — 원소인가, 부분집합인가
$a\in A$ 는 "$a$ 가 $A$ 의
원소로 나열되어 있다", $B\subset A$ 는 "$B$ 의
원소가 전부 $A$ 의 원소"다. 중괄호가 겹치면 원소를 또박또박 나열해 대조한다. 예: $A=\{\varnothing, 0, \{0\}\}$ 의 원소는 $\varnothing$, $0$, $\{0\}$ 셋 → $\varnothing\in A$ (참), $\varnothing\subset A$ (참, 공집합은 모든 집합의 부분집합), $\{0\}\in A$ (참), $\{0\}\subset A$ (참, $0\in A$ 이므로), $\{\varnothing\}\in A$ (
거짓 — 그런 원소는 없다).
🔁 조건을 포함 관계·개수로 번역하기
$A\cup B=A \iff B\subset A$ (합집합이 한쪽과 같으면 그쪽이 큰 집합),
$A\cap B=A \iff A\subset B$ (교집합이 한쪽과 같으면 그쪽이 작은 집합), $A\cap X=\varnothing$ 은 "$A$ 의 원소가 $X$ 에 없다".
부분집합의 개수: 원소 $n$ 개 중 $k$ 개를 반드시 넣고 $l$ 개를 반드시 빼면 $2^{\,n-k-l}$ (남는 원소를 나열해 센다).
$n(A\cap B)$ 의 최대·최소: 최대 $=\min(n(A),n(B))$ (작은 쪽이 큰 쪽에 포함될 때), 최소 $=n(A)+n(B)-n(U)$ (음수면 0).
배수의 집합 $A_k$: $A_4\cap A_6=A_{12}$ (최소공배수), 약수의 집합의 교집합은 최대공약수의 약수.