🚪 관문 특강 · 공통수학1 Ⅳ 행렬 (2022 개정 재도입)

🔲 행렬 첫만남 — 표를 통째로 계산한다

행렬은 한동안 고등학교 교과서에서 빠져 있다가 이번 교육과정에 다시 들어온 단원이에요. 지금 대학생인 형·누나 세대는 안 배웠고, 부모님 세대는 배웠던 내용이라 물어보면 아실 거예요. 문제집이 아직 얇아서 오히려 기회예요. 핵심은 딱 하나, "표를 통째로 계산한다". 덧셈은 칸끼리, 곱셈은 행 × 열. 이 곱셈 규칙 하나만 손에 익히면 이 단원은 끝나고, 컴퓨터 그래픽과 AI가 매일 하는 계산이 뭔지도 알게 돼요.

① 덧셈·실수배 ② 곱셈 ③ 꼴과 성질 ④ 등식·미지수

1행렬 곱셈이 뭔지 감 잡기 (규칙 없이)

두 매장이 사과와 배를 판 수량표가 있고, 사과와 배의 가격·무게표가 있어요. 각 매장의 매출과 총무게를 구하려면? 결과표의 칸을 눌러 보세요. 어느 행과 어느 열이 짝이 되는지 보여요.

매장 A의 매출은 "사과 수량 × 사과 가격 + 배 수량 × 배 가격". 즉 A의 1행과 B의 1열을 짝지어 곱해서 더한 거예요. 결과표의 모든 칸이 이 규칙 하나로 나와요. 이걸 표 전체에 한 번에 적용한 것이 행렬의 곱 $AB$예요.

함께 생각하기 ①

매장 A가 사과 3개, 배 2개를 팔았고, 사과는 1,000원, 배는 1,500원이에요. 매장 A의 매출(원)은?

2규칙은 외우는 게 아니라 읽는 것

먼저 말부터. 가로줄이 행, 세로줄이 열, 칸 하나가 성분이에요. $(i, j)$ 성분은 "$i$행 $j$열에 있는 수". 행이 $m$개, 열이 $n$개면 $m\times n$ 행렬이라 불러요("행 먼저, 열 나중").

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ — $a_{ij}$ 는 $i$행 $j$열

같은 꼴(같은 m×n)이고 성분이 전부 같아야 두 행렬이 "같다".

덧셈·뺄셈·실수배는 칸끼리예요. 표 두 장을 겹쳐 놓고 같은 칸끼리 더한다고 생각하면 돼요. 그래서 꼴이 같아야 더할 수 있어요.

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+p & b+q \\ c+r & d+s \end{pmatrix},\quad k\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$

덧셈은 교환·결합이 된다. 영행렬 O(전부 0)를 더하면 그대로.

곱셈은 감 잡기에서 본 그대로, 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 짝지어 곱해서 더해요. 그래서 앞의 열 개수와 뒤의 행 개수가 같아야 짝이 맞고, 결과의 꼴은 "앞의 행 × 뒤의 열"이에요.

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}$

(m×n)(n×p) = m×p. 가운데 n이 같아야 정의된다. (1,2) 성분 = 앞의 1행 · 뒤의 2열.

여기서 제일 중요한 경고. 곱셈은 순서를 바꾸면 결과가 달라져요. 수량표 × 가격표는 뜻이 있지만 가격표 × 수량표는 계산은 되지만 뜻이 없는 표가 나오잖아요. 그래서 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 같은 공식이 행렬에서는 일반적으로 성립하지 않아요($AB=BA$일 때만 성립). $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$까지만 돼요.

$AB\ne BA$ (일반적으로) · $A(B+C)=AB+AC$ · $(AB)C=A(BC)$ · $AE=EA=A$

E 는 단위행렬(대각선 1, 나머지 0). 숫자의 1 역할. A² 은 AA.

함께 생각하기 ②

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ 일 때 $AB$의 $(1,2)$ 성분은? ($A$의 1행과 $B$의 2열)

3행 × 열 곱셈기 — 핵심 도구

숫자를 바꿔 넣으면 결과와 각 칸의 계산식이 바로 보여요. 손으로 계산한 뒤 여기서 검산하는 용도로 쓰세요. 결과 칸을 누르면 어느 행·열이 짝인지 다시 강조돼요.

$A$의 꼴	$B$의 꼴	$AB$	$BA$
$2\times2$	$2\times2$	$2\times2$	$2\times2$ (값은 다를 수 있음)
$2\times3$	$3\times2$	$2\times2$	$3\times3$
$2\times2$	$2\times1$	$2\times1$	정의 안 됨
$1\times3$	$3\times1$	$1\times1$	$3\times3$

불변 앵커 곱셈은 "행 × 열, 짝지어 곱해서 더하기". 정의되려면 가운데 숫자가 같아야 하고, 결과는 바깥 숫자의 꼴. 순서를 바꾸면 다른 문제다. (계산은 2×2 중심이고, 위 표의 3×3은 꼴만 확인)

계산 연습이에요. 행과 열을 손가락으로 짚으면서 하세요.

4유형별 완전정복

네 가지 유형이에요. 어느 유형이든 꼴 확인 → 칸 하나씩 계산이면 풀려요. "다른 문제로"를 눌러 숫자가 바뀌어도 같은 길로 가는지 확인하세요.

①

덧셈·뺄셈·실수배

칸끼리, 같은 꼴만

핵심 $kA-B$ 의 $(i,j)$ 성분 $=k\,a_{ij}-b_{ij}$. 묻는 칸만 계산하면 된다. $X$가 미지의 행렬이면 문자처럼 이항한다: $A+X=B \Rightarrow X=B-A$.

②

곱셈

행 × 열 짝지어 곱해서 더하기

핵심 $(AB)$의 $(i,j)$ 성분 = $A$의 $i$행 · $B$의 $j$열. $A^2=AA$ 도 같은 규칙. 묻는 칸만 계산하고 나머지는 계산하지 않는다.

③

꼴과 성질

정의되는가 · 순서 · 단위행렬

핵심 $(m\times n)(n\times p)=m\times p$. $AB\ne BA$ 가 보통이고, $AE=EA=A$, $AO=O$. $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$.

④

등식·미지수

칸을 비교하면 연립방정식

핵심 두 행렬이 같다 ⟺ 모든 칸이 같다. 칸마다 등식을 세우면 문자를 구할 수 있다. $AX=B$ 꼴은 곱을 전개해 연립방정식으로.

5실전 총정리 — 유형 섞어서

어떤 유형인지 알려주지 않아요. 꼴부터 확인하고 풀어 보세요. 틀리면 어느 유형인지 알려주고 돌아가는 길을 열어 둘게요.

6마무리 치트시트

🔲 행렬 한 장 요약

말행(가로)·열(세로)·성분 $a_{ij}$ · $m\times n$ = 행 먼저

덧셈·실수배칸끼리. 같은 꼴만. 영행렬 O

곱셈행 × 열 짝지어 곱해서 더하기 · $(m\times n)(n\times p)=m\times p$

성질$AB\ne BA$ · $A(B+C)=AB+AC$ · $AE=EA=A$

등식모든 칸이 같다 → 칸마다 방정식

한 문장표를 통째로 계산한다. 곱셈만 순서를 지킨다

📌 어른이 되어도 기억할 것

컴퓨터 그래픽에서 물체를 돌리고 늘리는 것, 사진 필터, 그리고 AI(인공지능)의 계산은 대부분 행렬 곱셈의 반복이에요. GPU는 이 곱셈을 빨리 하려고 만든 칩이에요.
"순서를 바꾸면 결과가 달라진다"는 행렬의 성질은 현실의 조작(옷 입고 코트 입기 vs 코트 입고 옷 입기)과 같아요. 수학이 늘 교환법칙을 지키는 건 아니에요.
표(스프레드시트)를 다루는 사람은 이미 행렬을 쓰고 있어요. 열끼리 곱해서 더하는 SUMPRODUCT가 행 × 열 곱셈이에요.

💡 다음으로 이어지는 것

연립일차방정식은 $AX=B$ 한 줄로 쓸 수 있어요. 대학에서 배우는 선형대수는 이 한 줄을 파고드는 학문이고, 데이터 과학·공학·경제학이 전부 그 위에 서 있어요.

🏠 이미 보고 있던 곳

게임 캐릭터의 회전, 지도 앱의 좌표 변환, 추천 알고리즘("이 영화를 본 사람은 이것도")의 점수표, 그리고 사진 앱의 밝기·대비 조정. 전부 표 × 표예요.

🏭 이걸로 먹고사는 사람들

그래픽 엔진(회전·확대), 추천 시스템(사용자×상품 점수표), 인공지능(신경망 = 행렬 곱의 반복), 통계(데이터 표)까지. GPU는 행렬 곱셈을 빨리 하려고 만든 칩이에요. 🎓 컴퓨터공학 · 전자공학 · 데이터사이언스

단원 앱으로 이어서 → 행렬의 뜻과 연산

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