✖️ 행렬의 곱셈
✅ 곱셈 = 행 × 열
$AB$ 의 $(i,j)$ 성분 = $A$ 의
$i$ 행과 $B$ 의
$j$ 열을
대응끼리 곱해 더한 값.
곱셈이 되려면
앞 행렬의 열 수 = 뒤 행렬의 행 수 여야 한다.
아래 결과 행렬의 칸을 눌러 그 값이 어떤 행 × 어떤 열로 나오는지 확인하자.
결과 칸을 눌러 보세요 👆
⚠️ AB ≠ BA
행렬 곱셈은
교환법칙이 성립하지 않는다. 즉 $AB$ 와 $BA$ 는 일반적으로
다르다 (순서를 바꾸면 결과가 달라짐). 이것이 보통 수의 곱셈과 크게 다른 점.
📐 결과의 꼴은 바깥 두 수
$(m \times n)(n \times p)$ 를 이어 적으면
가운데 두 수가 같은지가 곱셈이
되는지를 정하고,
바깥 두 수가 결과의
꼴이 된다 → $m \times p$.
예 — $A$ 가 $3 \times 2$, $B$ 가 $2 \times 4$ 이면 $AB$ 는 가운데 $2 = 2$ 라 정의되고 결과는 $3 \times 4$.
세 개를 곱할 때도 같다: $(3 \times 2)(2 \times 4)(4 \times 3)$ 은 가운데가 차례로 맞아 정의되고 결과는 $3 \times 3$.
가운데(정의 조건)와 바깥(결과의 꼴)을
뒤바꾸는 것이 가장 흔한 실수다.
🔁 행렬의 거듭제곱
$A^n$ 은 성분을 $n$ 제곱하는 것이
아니라 $A$ 를 $n$ 번 곱하는 것이다.
$A$ 의 1행이 $(1, 1)$, 2행이 $(0, 1)$ 이면 $A^2$ 의 1행은 $(1, 2)$, $A^3$ 의 1행은 $(1, 3)$ — 곱할 때마다 오른쪽 위가 1씩 는다. 이렇게
한 번씩 곱해 가며 규칙을 찾는 것이 정석이다.
곱한 횟수를 하나 덜 세거나($A^2$ 에서 멈춤), 성분을 그대로 거듭제곱하는 것이 실점 지점이다.
🔤 미지수가 든 행렬 — 성분을 문자로 쓰고 비교
$X$ 의 성분을 $a, b, c, d$ 로 두고 곱셈의 성분을
문자 그대로 써 둔 뒤, 주어진 행렬과 대응하는 성분끼리 비교한다.
예 — $A$ 의 1행 $(1, 2)$, 2행 $(0, 1)$ 이면 $AX$ 의 1행은 $(a + 2c,\ b + 2d)$, 2행은 $(c,\ d)$.
$AX$ 가 1행 $(3, 4)$, 2행 $(1, 2)$ 라면
아래 행에서 $c = 1$, $d = 2$ 가 먼저 정해지고, 그것을 위 행에 넣어 $a = 3 - 2 = 1$, $b = 4 - 4 = 0$.
정해지는 순서가 있으므로 아래 행부터 읽는다. (나눗셈을 쓰지 않고 성분 비교만으로 풀린다.)