공통수학2 논술형 수행평가 — 생활 속 수학 탐구하기 (15점) 준비 팩
시험 2026-09-17(목) 수업시간 · 예시문항 2문제 공개, 실전은 유형 그대로 숫자만 변경 · 손글씨 서술(풀이 과정·단위) · 이 팩은 math-1-2-1 정본(10_prep)에서 생성·검산됨(2026-09-13)
이 팩의 구성과 4일 사용법
| 쪽 | 내용 | 언제 |
|---|
| 1 | 예시문항 원문 + 만점 답안 예시(1번·2번) | 9/13 — 먼저 읽고, 예시문항을 그대로 한 번 손으로 푼 뒤 대조 |
| 2 | 답안 틀 카드 2장 (▢에 숫자만 갈아끼움) + 원리 그림 | 9/13 — 순서와 근거 문장을 외운다 |
| 3 | 변형 문제 10세트 (문제 쪽) | 9/14·15·16 — 하루 2~3세트, 반드시 종이에 손으로. 목표 시간 1번형 16분, 2번형 15분 |
| 4 | 변형 정답·풀이 (답 쪽) | 풀고 나서만 본다. 틀린 자리 → 답안 틀로 돌아가기 |
| 5 | 함정 체크리스트 · 검산 루틴 · 시험 당일 시간 배분 | 9/16 저녁 + 9/17 등교 전 |
정답 한눈에 (예시문항)
| 문항 | 정답 |
|---|
| 1-1 | (x − 2)² + (y − 1)² = 9 |
| 1-2-1 | m = 3/4 또는 −3/4 |
| 1-2-2 | y = (3/4)x + 13/4 , y = −(3/4)x − 5/4 |
| 1-3 | P(1/5, 17/5) |
| 1-4 | AP = 4 → 40 m |
| 2 | 9 |
1. 예시문항(생성기로 재구성 — 원문은 inbox 사진)과 만점 답안 예시
1. 원형 생태공원과 산책로 설계하기
과천시는 주민들이 이용할 수 있는 원형 생태공원과 직선 모양의 산책로를 만들려고 한다. 이를 좌표평면에 나타냈을 때 원형 생태공원의 중심은 C(2, 1)이고, 반지름의 길이는 3이다. 또한 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이는 10 m이다. 생태공원 밖에 있는 점 A(−3, 1)에서 출발하여 공원에 닿는 직선 모양의 산책로를 만들려고 한다. 이때 산책로는 생태공원의 내부를 지나지 않고 공원의 경계와 한 점에서만 만나도록 설계한다. (단, 산책로의 폭은 생각하지 않는다.)
문제 1. 원형 생태공원의 방정식 — 중심이 C(2, 1)이고 반지름의 길이가 3인 원형 생태공원의 경계를 나타내는 원의 방정식을 구하시오.
문제 2. 산책로의 방정식 — 점 A(−3, 1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y − 1 = m(x + 3)이라고 하자. 이 직선이 원형 생태공원의 경계와 한 점에서만 만나도록, 즉 원형 생태공원에 접하도록 산책로를 만들려고 한다.
1. 가능한 기울기 m의 값을 모두 구하시오.
2. 두 산책로의 방정식을 각각 구하시오.
문제 3. 산책로와 원형 생태공원이 만나는 점 — 문제 2에서 구한 두 산책로 중 기울기가 양수인 산책로를 선택하자. 이 산책로와 원형 생태공원이 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
문제 4. 실제 산책로의 길이 — 점 A에서 문제 3에서 구한 접점 P까지 산책로를 설치하려고 한다. 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이가 10 m일 때, 설치해야 하는 산책로 AP의 실제 길이를 구하시오. 풀이 과정과 단위를 함께 나타내시오.
만점 답안 예시 — 1번
문제 1. 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이다.
중심이 C(2, 1), 반지름이 3이므로
(x − 2)² + (y − 1)² = 9
문제 2-1. 기울기 m
직선 y − 1 = m(x + 3)을 정리하면 mx − y + (3m + 1) = 0
직선이 원에 접하려면 원의 중심 C(2, 1)에서 이 직선까지의 거리가 반지름 3과 같아야 하므로
|2m − 1 + 3m + 1| / √(m² + 1) = 3
→ |5m| / √(m² + 1) = 3
양변을 제곱하면 25m² = 9(m² + 1)
→ 16m² = 9 → m² = 9/16
m = 3/4 또는 m = −3/4
문제 2-2. 두 산책로의 방정식
m = 3/4 : y − 1 = (3/4)(x + 3) → ▶ y = (3/4)x + 13/4 (일반형 3x − 4y + 13 = 0)
m = −3/4 : y − 1 = −(3/4)(x + 3) → ▶ y = −(3/4)x − 5/4 (일반형 3x + 4y + 5 = 0)
문제 3. 접점 P — 방법 A (대입 → 중근, 교과서 표준)
기울기가 양수인 산책로 y = (3/4)x + 13/4를 원의 방정식에 대입한다.
(x − 2)² + ((3/4)x + 13/4 − 1)² = 9
→ (x − 2)² + ((3x + 9)/4)² = 9
양변에 16을 곱하면 16(x − 2)² + (3x + 9)² = 144
전개하여 정리하면 25x² − 10x + 1 = 0
→ (5x − 1)² = 0 (접하므로 중근)
→ x = 1/5, y = (3/4)(1/5) + 13/4 = 17/5
P(1/5, 17/5)
문제 3. 접점 P — 방법 B (수선의 발, 계산이 짧다)
접점 P는 원의 중심 C에서 접선에 내린 수선의 발이다. (접선 ⊥ 반지름 CP)
접선에 수직인 직선의 기울기는 −4/3 이고 C(2, 1)을 지나므로 y − 1 = −(4/3)(x − 2) → y = −(4/3)x + 11/3
두 직선을 연립: (3/4)x + 13/4 = −(4/3)x + 11/3
양변에 12를 곱하면 9x + 39 = −16x + 44
→ 25x = 5 → x = 1/5, y = 17/5
P(1/5, 17/5) (방법 A와 일치)
검산 — P가 원 위에 있는가
(1/5 − 2)² + (17/5 − 1)² = (−9/5)² + (12/5)² = 81/25 + 144/25 = 9 = 9 ✓
문제 4. 실제 길이 — 방법 A (두 점 사이 거리)
두 점 A(−3, 1), P(1/5, 17/5) 사이의 거리는
AP = √((1/5 + 3)² + (17/5 − 1)²) = √((16/5)² + (12/5)²) = √(256/25 + 144/25) = √16 = 4
한 눈금의 실제 길이가 10 m이므로 실제 길이 = 4 × 10 = 40 m
산책로 AP의 실제 길이는 40 m
문제 4. 검산 — 방법 B (접선의 길이, 직각삼각형)
접점 P에서 반지름 CP ⊥ 접선 AP 이므로 △APC는 ∠P = 90°인 직각삼각형.
A와 C의 y좌표가 같으므로 AC = |2 − (−3)| = 5, CP = 3
AP = √(AC² − CP²) = √(25 − 9) = √16 = 4 ✓ (문제 3의 P가 틀려도 이 값은 살아남는다)
2. LED 라인의 최소 길이
한 미술관에서는 칸딘스키풍 작품을 대형 미디어아트로 제작하려고 한다. 작품 속 두 원형 무늬 C₁, C₂와 두 직선 무늬를 따라 빛이 이어지도록 일부 구간에 LED라인을 설치할 계획이다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x − 8)² + (y − 2)² = 4, C₂: (x − 3)² + (y + 4)² = 4로 나타내고, 두 직선 무늬는 각각 x축과 직선 y = x로 나타낸다. LED 라인은 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 x축 위의 점 P, 직선 y = x 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
LED 라인을 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 LED 라인의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
만점 답안 예시 — 2번
① P가 놓인 x축에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [x축 대칭: (x, y) → (x, −y)]
점 P는 x축 위의 점이고, x축은 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 직선 y = x에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 Q는 직선 y = x 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 x축에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x − 8)² + (y + 2)² = 4 (중심 C₁′(8, −2), 반지름 2) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x + 4)² + (y − 3)² = 4 (중심 C₂′(−4, 3), 반지름 2) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((8 + 4)² + (−2 − 3)²) = √(144 + 25) = √169 = 13
13 > 2 + 2 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 2
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 2 = 13 − 2 = 11
A′B′의 최솟값 = 13 − 2 − 2 = 9 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 LED 라인의 최소 길이는 9 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(80/13, −16/13), B′(−28/13, 29/13)에 대하여 선분 A′B′은 x축을 P(16/5, 0)에서, 직선 y = x를 Q(16/17, 16/17)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(80/13, 16/13), B(29/13, −28/13).
같은 답이 나오는 다른 방법: A를 x축에 대칭 → A′, 다시 A′을 y = x에 대칭 → A″(중심 (−2, 8)) 으로 잡고 A″C₂ 거리 13에서 4를 빼도 9. 둘 다 정답. 기본은 위 방법(양 끝점을 각각 한 번씩).
3. 변형 문제 10세트 — 문제 쪽 (반드시 종이에 손으로)
V1~V4 = 1번형, V5~V8 = 2번형, V9·V10 = 함정. 한 세트 목표 시간: 1번형 16분, 2번형 15분 (시험 40분 기준).
V11번형 · 수평 배치(예시와 같은 꼴), 삼조 5-12-13
1. 원형 분수대와 조명 케이블 설계하기
한 공원에서는 광장 한가운데의 원형 분수대와 직선 모양의 조명 케이블을 만들려고 한다. 이를 좌표평면에 나타냈을 때 원형 분수대의 중심은 C(1, 2)이고, 반지름의 길이는 5이다. 또한 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이는 10 m이다. 분수대 밖에 있는 전원함 A(−12, 2)에서 출발하여 분수대 가장자리에 닿는 직선 모양의 조명 케이블을 설치하려고 한다. 케이블은 분수대의 내부를 지나지 않고 분수대의 경계와 한 점에서만 만나도록 설계한다. (단, 케이블의 굵기는 생각하지 않는다.)
문제 1. 원형 분수대의 방정식 — 중심이 C(1, 2)이고 반지름의 길이가 5인 원형 분수대의 경계를 나타내는 원의 방정식을 구하시오.
문제 2. 조명 케이블의 방정식 — 점 A(−12, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y − 2 = m(x + 12)이라고 하자. 이 직선이 원형 분수대의 경계와 한 점에서만 만나도록, 즉 원형 분수대에 접하도록 조명 케이블을 만들려고 한다.
1. 가능한 기울기 m의 값을 모두 구하시오.
2. 두 조명 케이블의 방정식을 각각 구하시오.
문제 3. 조명 케이블과 원형 분수대가 만나는 점 — 문제 2에서 구한 두 조명 케이블 중 기울기가 양수인 조명 케이블을 선택하자. 이 조명 케이블과 원형 분수대가 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
문제 4. 실제 조명 케이블의 길이 — 점 A에서 문제 3에서 구한 접점 P까지 조명 케이블을 설치하려고 한다. 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이가 10 m일 때, 설치해야 하는 조명 케이블 AP의 실제 길이를 구하시오. 풀이 과정과 단위를 함께 나타내시오.
V21번형 · 수직 배치(A가 C 아래), 삼조 3-4-5
1. 원형 호수와 나무 데크 길 설계하기
한 도시는 시민 휴식 공간으로 원형 호수와 직선 모양의 나무 데크 길을 만들려고 한다. 이를 좌표평면에 나타냈을 때 원형 호수의 중심은 C(3, 4)이고, 반지름의 길이는 3이다. 또한 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이는 20 m이다. 호수 밖에 있는 정자 A(3, −1)에서 출발하여 호수에 닿는 직선 모양의 나무 데크 길을 만들려고 한다. 데크 길은 호수의 내부를 지나지 않고 호수의 경계와 한 점에서만 만나도록 설계한다. (단, 데크 길의 폭은 생각하지 않는다.)
문제 1. 원형 호수의 방정식 — 중심이 C(3, 4)이고 반지름의 길이가 3인 원형 호수의 경계를 나타내는 원의 방정식을 구하시오.
문제 2. 나무 데크 길의 방정식 — 점 A(3, −1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y + 1 = m(x − 3)이라고 하자. 이 직선이 원형 호수의 경계와 한 점에서만 만나도록, 즉 원형 호수에 접하도록 나무 데크 길을 만들려고 한다.
1. 가능한 기울기 m의 값을 모두 구하시오.
2. 두 나무 데크 길의 방정식을 각각 구하시오.
문제 3. 나무 데크 길과 원형 호수가 만나는 점 — 문제 2에서 구한 두 나무 데크 길 중 기울기가 음수인 나무 데크 길을 선택하자. 이 나무 데크 길과 원형 호수가 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
문제 4. 실제 나무 데크 길의 길이 — 점 A에서 문제 3에서 구한 접점 P까지 나무 데크 길을 설치하려고 한다. 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이가 20 m일 때, 설치해야 하는 나무 데크 길 AP의 실제 길이를 구하시오. 풀이 과정과 단위를 함께 나타내시오.
V31번형 · 수평 배치(A가 C 오른쪽), 음수 기울기 선택, 삼조 6-8-10
1. 원형 잔디 광장과 자전거 도로 설계하기
한 대학은 캠퍼스 중앙에 원형 잔디 광장과 직선 모양의 자전거 도로를 만들려고 한다. 이를 좌표평면에 나타냈을 때 원형 잔디 광장의 중심은 C(−2, 3)이고, 반지름의 길이는 6이다. 또한 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이는 5 m이다. 광장 밖에 있는 정문 A(8, 3)에서 출발하여 광장에 닿는 직선 모양의 자전거 도로를 만들려고 한다. 도로는 광장의 내부를 지나지 않고 광장의 경계와 한 점에서만 만나도록 설계한다. (단, 도로의 폭은 생각하지 않는다.)
문제 1. 원형 잔디 광장의 방정식 — 중심이 C(−2, 3)이고 반지름의 길이가 6인 원형 잔디 광장의 경계를 나타내는 원의 방정식을 구하시오.
문제 2. 자전거 도로의 방정식 — 점 A(8, 3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y − 3 = m(x − 8)이라고 하자. 이 직선이 원형 잔디 광장의 경계와 한 점에서만 만나도록, 즉 원형 잔디 광장에 접하도록 자전거 도로를 만들려고 한다.
1. 가능한 기울기 m의 값을 모두 구하시오.
2. 두 자전거 도로의 방정식을 각각 구하시오.
문제 3. 자전거 도로와 원형 잔디 광장이 만나는 점 — 문제 2에서 구한 두 자전거 도로 중 기울기가 음수인 자전거 도로를 선택하자. 이 자전거 도로와 원형 잔디 광장이 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
문제 4. 실제 자전거 도로의 길이 — 점 A에서 문제 3에서 구한 접점 P까지 자전거 도로를 설치하려고 한다. 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이가 5 m일 때, 설치해야 하는 자전거 도로 AP의 실제 길이를 구하시오. 풀이 과정과 단위를 함께 나타내시오.
V41번형 · 수직 배치(A가 C 위), 삼조 4-3-5, 눈금 25 m
1. 원형 생태공원과 산책로 설계하기
과천시는 주민들이 이용할 수 있는 원형 생태공원과 직선 모양의 산책로를 만들려고 한다. 이를 좌표평면에 나타냈을 때 원형 생태공원의 중심은 C(−1, −2)이고, 반지름의 길이는 4이다. 또한 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이는 25 m이다. 생태공원 밖에 있는 점 A(−1, 3)에서 출발하여 공원에 닿는 직선 모양의 산책로를 만들려고 한다. 이때 산책로는 생태공원의 내부를 지나지 않고 공원의 경계와 한 점에서만 만나도록 설계한다. (단, 산책로의 폭은 생각하지 않는다.)
문제 1. 원형 생태공원의 방정식 — 중심이 C(−1, −2)이고 반지름의 길이가 4인 원형 생태공원의 경계를 나타내는 원의 방정식을 구하시오.
문제 2. 산책로의 방정식 — 점 A(−1, 3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 y − 3 = m(x + 1)이라고 하자. 이 직선이 원형 생태공원의 경계와 한 점에서만 만나도록, 즉 원형 생태공원에 접하도록 산책로를 만들려고 한다.
1. 가능한 기울기 m의 값을 모두 구하시오.
2. 두 산책로의 방정식을 각각 구하시오.
문제 3. 산책로와 원형 생태공원이 만나는 점 — 문제 2에서 구한 두 산책로 중 기울기가 양수인 산책로를 선택하자. 이 산책로와 원형 생태공원이 만나는 점을 P라고 할 때, 점 P의 좌표를 구하시오.
문제 4. 실제 산책로의 길이 — 점 A에서 문제 3에서 구한 접점 P까지 산책로를 설치하려고 한다. 좌표평면에서 한 눈금의 실제 길이가 25 m일 때, 설치해야 하는 산책로 AP의 실제 길이를 구하시오. 풀이 과정과 단위를 함께 나타내시오.
V52번형 · x축 → y = x (예시와 같은 직선), 다른 숫자, 삼조 5-12-13
2. 조명 케이블의 최소 길이
한 놀이공원에서는 두 원형 회전 놀이기구 C₁, C₂와 두 직선 도로를 따라 야간 조명 케이블을 설치하려고 한다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x + 7)² + (y + 1)² = 1, C₂: (x + 4)² + (y − 5)² = 4로 나타내고, 두 직선 도로는 각각 x축과 직선 y = x로 나타낸다. 조명 케이블은 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 x축 위의 점 P, 직선 y = x 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
조명 케이블을 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 조명 케이블의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
V62번형 · y축 → y = x, 삼조 3-4-5
2. 로봇의 이동 경로의 최소 길이
한 로봇 경진대회에서는 두 원형 충전 구역 C₁, C₂와 두 직선 벽을 따라 로봇이 이동하는 경로를 설계하려고 한다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x − 1)² + (y − 3)² = 1, C₂: (x + 1)² + (y − 2)² = 1로 나타내고, 두 직선 벽은 각각 y축과 직선 y = x로 나타낸다. 로봇의 이동 경로는 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 y축 위의 점 P, 직선 y = x 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
로봇의 이동 경로를 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 로봇의 이동 경로의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
V72번형 · y축 → x축, 삼조 8-15-17
2. 드론의 비행 경로의 최소 길이
한 드론 쇼에서는 두 원형 무대 C₁, C₂와 두 직선 레이저 라인을 따라 드론이 빛을 그리며 이동하도록 경로를 설계하려고 한다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x + 2)² + (y − 8)² = 4, C₂: (x + 6)² + (y − 7)² = 1로 나타내고, 두 직선 레이저 라인은 각각 y축과 x축으로 나타낸다. 드론의 비행 경로는 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 y축 위의 점 P, x축 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
드론의 비행 경로를 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 드론의 비행 경로의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
V82번형 · y = x → y축, 반지름이 서로 다름(3·1), 눈금 환산 0.5 m
2. LED 라인의 최소 길이
한 미술관에서는 칸딘스키풍 작품을 대형 미디어아트로 제작하려고 한다. 작품 속 두 원형 무늬 C₁, C₂와 두 직선 무늬를 따라 빛이 이어지도록 일부 구간에 LED라인을 설치할 계획이다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x − 5)² + (y + 3)² = 9, C₂: (x + 2)² + (y + 7)² = 1로 나타내고, 두 직선 무늬는 각각 직선 y = x와 y축으로 나타낸다. LED 라인은 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 직선 y = x 위의 점 P, y축 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다. 설계도에서 한 눈금의 실제 길이는 0.5 m이다.
LED 라인을 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 LED 라인의 최소 길이(실제 길이)를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
V9함정 ① · 경유 순서가 바뀜(y = x 먼저, x축 나중) — P가 놓인 직선에 A를 대칭
2. 조명 케이블의 최소 길이
한 놀이공원에서는 두 원형 회전 놀이기구 C₁, C₂와 두 직선 도로를 따라 야간 조명 케이블을 설치하려고 한다. 설계도에서 두 원은 C₁: (x − 4)² + (y + 3)² = 1, C₂: (x − 5)² + (y − 2)² = 4로 나타내고, 두 직선 도로는 각각 직선 y = x와 x축으로 나타낸다. 조명 케이블은 원 C₁ 위의 점 A에서 시작하여 직선 y = x 위의 점 P, x축 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
조명 케이블을 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 조명 케이블의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
V10함정 ② · 출발점 A가 원이 아니라 고정점 — 반지름을 한쪽만 뺀다
2. 로봇의 이동 경로의 최소 길이
한 로봇 경진대회에서는 원형 충전 구역 C₂와 두 직선 벽을 따라 로봇이 이동하는 경로를 설계하려고 한다. 설계도에서 원은 C₂: (x − 2)² + (y + 1)² = 1로 나타내고, 두 직선 벽은 각각 x축과 직선 y = x로 나타낸다. 로봇의 이동 경로는 점 A(3, 1)에서 시작하여 x축 위의 점 P, 직선 y = x 위의 점 Q를 차례로 지나 원 C₂ 위의 점 B까지 연결하려고 한다.
로봇의 이동 경로를 최소한으로 사용하여 설계하려고 할 때, 필요한 로봇의 이동 경로의 최소 길이를 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. (단, 그림은 문제의 이해를 돕기 위한 예시도이다.)
4. 변형 정답·풀이 — 답 쪽 (풀고 나서만 본다)
V1 정답: (x − 1)² + (y − 2)² = 25 | m = ±5/12 | y = (5/12)x + 7 , y = −(5/12)x − 3 | P(−12/13, 86/13) | AP = 12 → 120 m
문제 1. 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이다.
중심이 C(1, 2), 반지름이 5이므로
(x − 1)² + (y − 2)² = 25
문제 2-1. 기울기 m
직선 y − 2 = m(x + 12)를 정리하면 mx − y + (12m + 2) = 0
직선이 원에 접하려면 원의 중심 C(1, 2)에서 이 직선까지의 거리가 반지름 5와 같아야 하므로
|m − 2 + 12m + 2| / √(m² + 1) = 5
→ |13m| / √(m² + 1) = 5
양변을 제곱하면 169m² = 25(m² + 1)
→ 144m² = 25 → m² = 25/144
m = 5/12 또는 m = −5/12
문제 2-2. 두 조명 케이블의 방정식
m = 5/12 : y − 2 = (5/12)(x + 12) → ▶ y = (5/12)x + 7 (일반형 5x − 12y + 84 = 0)
m = −5/12 : y − 2 = −(5/12)(x + 12) → ▶ y = −(5/12)x − 3 (일반형 5x + 12y + 36 = 0)
문제 3. 접점 P — 방법 A (대입 → 중근, 교과서 표준)
기울기가 양수인 조명 케이블 y = (5/12)x + 7을 원의 방정식에 대입한다.
(x − 1)² + ((5/12)x + 7 − 2)² = 25
→ (x − 1)² + ((5x + 60)/12)² = 25
양변에 144를 곱하면 144(x − 1)² + (5x + 60)² = 3600
전개하여 정리하면 169x² + 312x + 144 = 0
→ (13x + 12)² = 0 (접하므로 중근)
→ x = −12/13, y = (5/12)(−12/13) + 7 = 86/13
P(−12/13, 86/13)
문제 3. 접점 P — 방법 B (수선의 발, 계산이 짧다)
접점 P는 원의 중심 C에서 접선에 내린 수선의 발이다. (접선 ⊥ 반지름 CP)
접선에 수직인 직선의 기울기는 −12/5 이고 C(1, 2)를 지나므로 y − 2 = −(12/5)(x − 1) → y = −(12/5)x + 22/5
두 직선을 연립: (5/12)x + 7 = −(12/5)x + 22/5
양변에 60을 곱하면 25x + 420 = −144x + 264
→ 169x = −156 → x = −12/13, y = 86/13
P(−12/13, 86/13) (방법 A와 일치)
검산 — P가 원 위에 있는가
(−12/13 − 1)² + (86/13 − 2)² = (−25/13)² + (60/13)² = 625/169 + 3600/169 = 25 = 25 ✓
문제 4. 실제 길이 — 방법 A (두 점 사이 거리)
두 점 A(−12, 2), P(−12/13, 86/13) 사이의 거리는
AP = √((−12/13 + 12)² + (86/13 − 2)²) = √((144/13)² + (60/13)²) = √(20736/169 + 3600/169) = √144 = 12
한 눈금의 실제 길이가 10 m이므로 실제 길이 = 12 × 10 = 120 m
조명 케이블 AP의 실제 길이는 120 m
문제 4. 검산 — 방법 B (접선의 길이, 직각삼각형)
접점 P에서 반지름 CP ⊥ 접선 AP 이므로 △APC는 ∠P = 90°인 직각삼각형.
A와 C의 y좌표가 같으므로 AC = |1 − (−12)| = 13, CP = 5
AP = √(AC² − CP²) = √(169 − 25) = √144 = 12 ✓ (문제 3의 P가 틀려도 이 값은 살아남는다)
V2 정답: (x − 3)² + (y − 4)² = 9 | m = ±4/3 | y = (4/3)x − 5 , y = −(4/3)x + 3 | P(3/5, 11/5) | AP = 4 → 80 m
문제 1. 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이다.
중심이 C(3, 4), 반지름이 3이므로
(x − 3)² + (y − 4)² = 9
문제 2-1. 기울기 m
직선 y + 1 = m(x − 3)을 정리하면 mx − y + (−3m − 1) = 0
직선이 원에 접하려면 원의 중심 C(3, 4)에서 이 직선까지의 거리가 반지름 3과 같아야 하므로
|3m − 4 − 3m − 1| / √(m² + 1) = 3
→ |−5| / √(m² + 1) = 3 (m이 사라지고 상수만 남는다)
양변을 제곱하면 25 = 9(m² + 1)
→ 9m² = 16 → m² = 16/9
m = 4/3 또는 m = −4/3
문제 2-2. 두 나무 데크 길의 방정식
m = 4/3 : y + 1 = (4/3)(x − 3) → ▶ y = (4/3)x − 5 (일반형 4x − 3y − 15 = 0)
m = −4/3 : y + 1 = −(4/3)(x − 3) → ▶ y = −(4/3)x + 3 (일반형 4x + 3y − 9 = 0)
문제 3. 접점 P — 방법 A (대입 → 중근, 교과서 표준)
기울기가 음수인 나무 데크 길 y = −(4/3)x + 3을 원의 방정식에 대입한다.
(x − 3)² + (−(4/3)x + 3 − 4)² = 9
→ (x − 3)² + ((−4x − 3)/3)² = 9
양변에 9를 곱하면 9(x − 3)² + (−4x − 3)² = 81
전개하여 정리하면 25x² − 30x + 9 = 0
→ (5x − 3)² = 0 (접하므로 중근)
→ x = 3/5, y = −(4/3)(3/5) + 3 = 11/5
P(3/5, 11/5)
문제 3. 접점 P — 방법 B (수선의 발, 계산이 짧다)
접점 P는 원의 중심 C에서 접선에 내린 수선의 발이다. (접선 ⊥ 반지름 CP)
접선에 수직인 직선의 기울기는 3/4 이고 C(3, 4)를 지나므로 y − 4 = (3/4)(x − 3) → y = (3/4)x + 7/4
두 직선을 연립: −(4/3)x + 3 = (3/4)x + 7/4
양변에 12를 곱하면 −16x + 36 = 9x + 21
→ 25x = 15 → x = 3/5, y = 11/5
P(3/5, 11/5) (방법 A와 일치)
검산 — P가 원 위에 있는가
(3/5 − 3)² + (11/5 − 4)² = (−12/5)² + (−9/5)² = 144/25 + 81/25 = 9 = 9 ✓
문제 4. 실제 길이 — 방법 A (두 점 사이 거리)
두 점 A(3, −1), P(3/5, 11/5) 사이의 거리는
AP = √((3/5 − 3)² + (11/5 + 1)²) = √((−12/5)² + (16/5)²) = √(144/25 + 256/25) = √16 = 4
한 눈금의 실제 길이가 20 m이므로 실제 길이 = 4 × 20 = 80 m
나무 데크 길 AP의 실제 길이는 80 m
문제 4. 검산 — 방법 B (접선의 길이, 직각삼각형)
접점 P에서 반지름 CP ⊥ 접선 AP 이므로 △APC는 ∠P = 90°인 직각삼각형.
A와 C의 x좌표가 같으므로 AC = |4 − (−1)| = 5, CP = 3
AP = √(AC² − CP²) = √(25 − 9) = √16 = 4 ✓ (문제 3의 P가 틀려도 이 값은 살아남는다)
V3 정답: (x + 2)² + (y − 3)² = 36 | m = ±3/4 | y = (3/4)x − 3 , y = −(3/4)x + 9 | P(8/5, 39/5) | AP = 8 → 40 m
문제 1. 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이다.
중심이 C(−2, 3), 반지름이 6이므로
(x + 2)² + (y − 3)² = 36
문제 2-1. 기울기 m
직선 y − 3 = m(x − 8)을 정리하면 mx − y + (−8m + 3) = 0
직선이 원에 접하려면 원의 중심 C(−2, 3)에서 이 직선까지의 거리가 반지름 6과 같아야 하므로
|−2m − 3 − 8m + 3| / √(m² + 1) = 6
→ |−10m| / √(m² + 1) = 6
양변을 제곱하면 100m² = 36(m² + 1)
→ 64m² = 36 → m² = 9/16
m = 3/4 또는 m = −3/4
문제 2-2. 두 자전거 도로의 방정식
m = 3/4 : y − 3 = (3/4)(x − 8) → ▶ y = (3/4)x − 3 (일반형 3x − 4y − 12 = 0)
m = −3/4 : y − 3 = −(3/4)(x − 8) → ▶ y = −(3/4)x + 9 (일반형 3x + 4y − 36 = 0)
문제 3. 접점 P — 방법 A (대입 → 중근, 교과서 표준)
기울기가 음수인 자전거 도로 y = −(3/4)x + 9를 원의 방정식에 대입한다.
(x + 2)² + (−(3/4)x + 9 − 3)² = 36
→ (x + 2)² + ((−3x + 24)/4)² = 36
양변에 16을 곱하면 16(x + 2)² + (−3x + 24)² = 576
전개하여 정리하면 25x² − 80x + 64 = 0
→ (5x − 8)² = 0 (접하므로 중근)
→ x = 8/5, y = −(3/4)(8/5) + 9 = 39/5
P(8/5, 39/5)
문제 3. 접점 P — 방법 B (수선의 발, 계산이 짧다)
접점 P는 원의 중심 C에서 접선에 내린 수선의 발이다. (접선 ⊥ 반지름 CP)
접선에 수직인 직선의 기울기는 4/3 이고 C(−2, 3)을 지나므로 y − 3 = (4/3)(x + 2) → y = (4/3)x + 17/3
두 직선을 연립: −(3/4)x + 9 = (4/3)x + 17/3
양변에 12를 곱하면 −9x + 108 = 16x + 68
→ 25x = 40 → x = 8/5, y = 39/5
P(8/5, 39/5) (방법 A와 일치)
검산 — P가 원 위에 있는가
(8/5 + 2)² + (39/5 − 3)² = (18/5)² + (24/5)² = 324/25 + 576/25 = 36 = 36 ✓
문제 4. 실제 길이 — 방법 A (두 점 사이 거리)
두 점 A(8, 3), P(8/5, 39/5) 사이의 거리는
AP = √((8/5 − 8)² + (39/5 − 3)²) = √((−32/5)² + (24/5)²) = √(1024/25 + 576/25) = √64 = 8
한 눈금의 실제 길이가 5 m이므로 실제 길이 = 8 × 5 = 40 m
자전거 도로 AP의 실제 길이는 40 m
문제 4. 검산 — 방법 B (접선의 길이, 직각삼각형)
접점 P에서 반지름 CP ⊥ 접선 AP 이므로 △APC는 ∠P = 90°인 직각삼각형.
A와 C의 y좌표가 같으므로 AC = |−2 − 8| = 10, CP = 6
AP = √(AC² − CP²) = √(100 − 36) = √64 = 8 ✓ (문제 3의 P가 틀려도 이 값은 살아남는다)
V4 정답: (x + 1)² + (y + 2)² = 16 | m = ±3/4 | y = (3/4)x + 15/4 , y = −(3/4)x + 9/4 | P(−17/5, 6/5) | AP = 3 → 75 m
문제 1. 원의 방정식
중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 (x − a)² + (y − b)² = r² 이다.
중심이 C(−1, −2), 반지름이 4이므로
(x + 1)² + (y + 2)² = 16
문제 2-1. 기울기 m
직선 y − 3 = m(x + 1)을 정리하면 mx − y + (m + 3) = 0
직선이 원에 접하려면 원의 중심 C(−1, −2)에서 이 직선까지의 거리가 반지름 4와 같아야 하므로
|−m + 2 + m + 3| / √(m² + 1) = 4
→ |5| / √(m² + 1) = 4 (m이 사라지고 상수만 남는다)
양변을 제곱하면 25 = 16(m² + 1)
→ 16m² = 9 → m² = 9/16
m = 3/4 또는 m = −3/4
문제 2-2. 두 산책로의 방정식
m = 3/4 : y − 3 = (3/4)(x + 1) → ▶ y = (3/4)x + 15/4 (일반형 3x − 4y + 15 = 0)
m = −3/4 : y − 3 = −(3/4)(x + 1) → ▶ y = −(3/4)x + 9/4 (일반형 3x + 4y − 9 = 0)
문제 3. 접점 P — 방법 A (대입 → 중근, 교과서 표준)
기울기가 양수인 산책로 y = (3/4)x + 15/4를 원의 방정식에 대입한다.
(x + 1)² + ((3/4)x + 15/4 + 2)² = 16
→ (x + 1)² + ((3x + 23)/4)² = 16
양변에 16을 곱하면 16(x + 1)² + (3x + 23)² = 256
전개하여 정리하면 25x² + 170x + 289 = 0
→ (5x + 17)² = 0 (접하므로 중근)
→ x = −17/5, y = (3/4)(−17/5) + 15/4 = 6/5
P(−17/5, 6/5)
문제 3. 접점 P — 방법 B (수선의 발, 계산이 짧다)
접점 P는 원의 중심 C에서 접선에 내린 수선의 발이다. (접선 ⊥ 반지름 CP)
접선에 수직인 직선의 기울기는 −4/3 이고 C(−1, −2)를 지나므로 y + 2 = −(4/3)(x + 1) → y = −(4/3)x − 10/3
두 직선을 연립: (3/4)x + 15/4 = −(4/3)x − 10/3
양변에 12를 곱하면 9x + 45 = −16x − 40
→ 25x = −85 → x = −17/5, y = 6/5
P(−17/5, 6/5) (방법 A와 일치)
검산 — P가 원 위에 있는가
(−17/5 + 1)² + (6/5 + 2)² = (−12/5)² + (16/5)² = 144/25 + 256/25 = 16 = 16 ✓
문제 4. 실제 길이 — 방법 A (두 점 사이 거리)
두 점 A(−1, 3), P(−17/5, 6/5) 사이의 거리는
AP = √((−17/5 + 1)² + (6/5 − 3)²) = √((−12/5)² + (−9/5)²) = √(144/25 + 81/25) = √9 = 3
한 눈금의 실제 길이가 25 m이므로 실제 길이 = 3 × 25 = 75 m
산책로 AP의 실제 길이는 75 m
문제 4. 검산 — 방법 B (접선의 길이, 직각삼각형)
접점 P에서 반지름 CP ⊥ 접선 AP 이므로 △APC는 ∠P = 90°인 직각삼각형.
A와 C의 x좌표가 같으므로 AC = |−2 − 3| = 5, CP = 4
AP = √(AC² − CP²) = √(25 − 16) = √9 = 3 ✓ (문제 3의 P가 틀려도 이 값은 살아남는다)
V5 정답: C₁′(−7, 1) , C₂′(5, −4) | 중심 거리 13 | 최소 길이 10
① P가 놓인 x축에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [x축 대칭: (x, y) → (x, −y)]
점 P는 x축 위의 점이고, x축은 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 직선 y = x에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 Q는 직선 y = x 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 x축에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x + 7)² + (y − 1)² = 1 (중심 C₁′(−7, 1), 반지름 1) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x − 5)² + (y + 4)² = 4 (중심 C₂′(5, −4), 반지름 2) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((−7 − 5)² + (1 + 4)²) = √(144 + 25) = √169 = 13
13 > 1 + 2 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 2
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 1 = 13 − 1 = 12
A′B′의 최솟값 = 13 − 1 − 2 = 10 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 조명 케이블의 최소 길이는 10 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(−79/13, 8/13), B′(41/13, −42/13)에 대하여 선분 A′B′은 x축을 P(−23/5, 0)에서, 직선 y = x를 Q(−23/17, −23/17)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(−79/13, −8/13), B(−42/13, 41/13).
V6 정답: C₁′(−1, 3) , C₂′(2, −1) | 중심 거리 5 | 최소 길이 3
① P가 놓인 y축에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [y축 대칭: (x, y) → (−x, y)]
점 P는 y축 위의 점이고, y축은 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 직선 y = x에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 Q는 직선 y = x 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 y축에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x + 1)² + (y − 3)² = 1 (중심 C₁′(−1, 3), 반지름 1) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x − 2)² + (y + 1)² = 1 (중심 C₂′(2, −1), 반지름 1) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((−1 − 2)² + (3 + 1)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
5 > 1 + 1 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 1
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 1 = 5 − 1 = 4
A′B′의 최솟값 = 5 − 1 − 1 = 3 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 로봇의 이동 경로의 최소 길이는 3 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(−2/5, 11/5), B′(7/5, −1/5)에 대하여 선분 A′B′은 y축을 P(0, 5/3)에서, 직선 y = x를 Q(5/7, 5/7)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(2/5, 11/5), B(−1/5, 7/5).
V7 정답: C₁′(2, 8) , C₂′(−6, −7) | 중심 거리 17 | 최소 길이 14
① P가 놓인 y축에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [y축 대칭: (x, y) → (−x, y)]
점 P는 y축 위의 점이고, y축은 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 x축에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [x축 대칭: (x, y) → (x, −y)]
점 Q는 x축 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 y축에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x − 2)² + (y − 8)² = 4 (중심 C₁′(2, 8), 반지름 2) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 x축에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x + 6)² + (y + 7)² = 1 (중심 C₂′(−6, −7), 반지름 1) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((2 + 6)² + (8 + 7)²) = √(64 + 225) = √289 = 17
17 > 2 + 1 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 1
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 2 = 17 − 2 = 15
A′B′의 최솟값 = 17 − 2 − 1 = 14 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 드론의 비행 경로의 최소 길이는 14 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(18/17, 106/17), B′(−94/17, −104/17)에 대하여 선분 A′B′은 y축을 P(0, 17/4)에서, x축을 Q(−34/15, 0)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(−18/17, 106/17), B(−94/17, 104/17).
V8 정답: C₁′(−3, 5) , C₂′(2, −7) | 중심 거리 13 | 최소 길이 9 → 4.5 m
① P가 놓인 직선 y = x에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 P는 직선 y = x 위의 점이고, 직선 y = x는 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 y축에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 y축에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [y축 대칭: (x, y) → (−x, y)]
점 Q는 y축 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x + 3)² + (y − 5)² = 9 (중심 C₁′(−3, 5), 반지름 3) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 y축에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x − 2)² + (y + 7)² = 1 (중심 C₂′(2, −7), 반지름 1) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((−3 − 2)² + (5 + 7)²) = √(25 + 144) = √169 = 13
13 > 3 + 1 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 1
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 3 = 13 − 3 = 10
A′B′의 최솟값 = 13 − 3 − 1 = 9 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 LED 라인의 최소 길이는 9
한 눈금 = 0.5 m 이므로 실제 길이 = 9 × 0.5 = 4.5 m
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(−24/13, 29/13), B′(21/13, −79/13)에 대하여 선분 A′B′은 직선 y = x를 P(−11/17, −11/17)에서, y축을 Q(0, −11/5)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(29/13, −24/13), B(−21/13, −79/13).
V9 정답: C₁′(−3, 4) , C₂′(5, −2) | 중심 거리 10 | 최소 길이 7
① P가 놓인 직선 y = x에 대하여 A를 대칭이동
원 C₁ 위의 점 A를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 P는 직선 y = x 위의 점이고, 직선 y = x는 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 x축에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [x축 대칭: (x, y) → (x, −y)]
점 Q는 x축 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A가 원 C₁ 위를 움직이므로 A′은 원 C₁을 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₁′: (x + 3)² + (y − 4)² = 1 (중심 C₁′(−3, 4), 반지름 1) 위를 움직인다.
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 x축에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x − 5)² + (y + 2)² = 4 (중심 C₂′(5, −2), 반지름 2) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 두 원 위의 점 사이의 최소 거리
C₁′C₂′ = √((−3 − 5)² + (4 + 2)²) = √(64 + 36) = √100 = 10
10 > 1 + 2 이므로 두 원은 서로 밖에 있다. 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 을 두 번 쓴다.
A′을 고정하면 B′이 원 C₂′ 위를 움직이므로 A′B′ ≥ A′C₂′ − 2
A′이 원 C₁′ 위를 움직이므로 A′C₂′ ≥ C₁′C₂′ − 1 = 10 − 1 = 9
A′B′의 최솟값 = 10 − 1 − 2 = 7 (등호: A′, B′이 선분 C₁′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 조명 케이블의 최소 길이는 7 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(−11/5, 17/5), B′(17/5, −4/5)에 대하여 선분 A′B′은 직선 y = x를 P(1, 1)에서, x축을 Q(7/3, 0)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(17/5, −11/5), B(17/5, 4/5).
V10 정답: A′(3, −1) , C₂′(−1, 2) | 중심 거리 5 | 최소 길이 4
① P가 놓인 x축에 대하여 A를 대칭이동
점 A(3, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하자. [x축 대칭: (x, y) → (x, −y)]
점 P는 x축 위의 점이고, x축은 선분 AA′의 수직이등분선이므로 AP = A′P
② Q가 놓인 직선 y = x에 대하여 B를 대칭이동
원 C₂ 위의 점 B를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하자. [직선 y = x 대칭: (x, y) → (y, x)]
점 Q는 직선 y = x 위의 점이므로 같은 이유로 QB = QB′
③ 꺾인 길을 곧은 길로
AP + PQ + QB = A′P + PQ + QB′ ≥ A′B′
(두 점을 잇는 가장 짧은 길은 선분. 등호는 P, Q가 선분 A′B′ 위에 이 순서로 놓일 때)
④ 대칭이동한 원(점)의 방정식
A′ = (3, −1)
B가 원 C₂ 위를 움직이므로 B′은 원 C₂를 직선 y = x에 대하여 대칭이동한 원 C₂′: (x + 1)² + (y − 2)² = 1 (중심 C₂′(−1, 2), 반지름 1) 위를 움직인다.
(원의 대칭이동 = 중심만 대칭이동, 반지름은 그대로)
⑤ 점 A′과 원 C₂′ 위의 점 사이의 최소 거리
A′C₂′ = √((3 + 1)² + (−1 − 2)²) = √(16 + 9) = √25 = 5
5 > 1 이므로 A′은 원 C₂′ 밖에 있고, 점에서 원 위의 점까지 거리의 최솟값 = (중심까지의 거리) − (반지름) 이므로
A′B′의 최솟값 = 5 − 1 = 4 (등호: B′이 선분 A′C₂′ 위에 있을 때)
⑥ 답
따라서 로봇의 이동 경로의 최소 길이는 4 (좌표 단위)
순서 확인
(선택 보강 — 시간이 남으면) 최솟값을 주는 A′(3, −1), B′(−1/5, 7/5)에 대하여 선분 A′B′은 x축을 P(5/3, 0)에서, 직선 y = x를 Q(5/7, 5/7)에서 차례로 지나므로 A → P → Q → B 순서의 경로가 실제로 존재한다.
이때 A(3, 1), B(7/5, −1/5).