지수(exponent)는 그냥 "반복해서 곱하기". 그런데 이 반복이 얼마나 무서운지, 직접 굴려보면 소름 돋아요.
이 페이지엔 채점 문제가 없어요. 직접 굴려보며 지수가 얼마나 커지는지 확인하는 곳이에요.
매일 1000원씩 더 모으면 — 10일에 만원, 100일에 십만원. 착실하지만 일정한 속도예요. 이게 더하기(선형) 성장이에요.
그런데 매일 2배씩이 되면? 1 → 2 → 4 → 8 → … 처음엔 시시해 보여도 며칠 만에 손을 쓸 수 없이 커져요. 이게 곱하기(지수) 성장이에요. 지수는 배수로 자라거든요.
얼마나 다른지, 아래 슬라이더를 끝까지 밀어 볼까요?
an 은 a를 n번 곱한 값이에요. n이 1씩 커질 때마다 값이 a배로 뛰어요 — 그래서 그래프가 위로 휘어 오르며 폭발해요.
같은 20단계라도, 더하기는 20칸 올라가는 동안 2배씩 곱하기는 백만을 넘어요. 시작은 훨씬 작았는데 말이에요. 이게 지수의 힘 — 복리(compound interest), 바이러스 확산, 컴퓨터 용량이 전부 이 원리로 움직여요.
기억할 것 — 지수법칙은 이 "반복 곱하기"에서 저절로 나와요.
am×an=am+n (이어 곱하니 지수를 더함) · (am)n=amn (묶음을 반복하니 곱함)
지수는 너무 커서 감이 안 오죠. 그럴 땐 10의 거듭제곱과 견줘 봐요 — 103 = 1000(4자리), 106(7자리)처럼 10k 은 (k+1)자리거든요.
210 과 1000, 어느 게 더 클까요? 먼저 예측해 볼까요?
210 = 1024 — 1000 보다 아주 조금 커요. 그래서 210 ≈ 103 (둘 다 4자리) 로 어림할 수 있어요.
이 어림이 강력한 이유 — 220 = (210)2 ≈ (103)2 = 106 (약 백만, 7자리). 지수법칙 한 줄로 자릿수가 바로 나와요.
컴퓨터의 1KB≈천, 1MB≈백만, 1GB≈십억 이 전부 이 어림에서 나와요. 심화 문제에서 직접 다뤄 볼게요.
이 폭발하는 성질을 실생활·도형·식 계산에 써먹어 볼까요?