3가지 (혹은 4가지: 일치 포함 시) 공간에서: 한 점 만남 / 평행 / 꼬인 위치. (일치를 별개로 세면 4가지) "꼬인 위치"가 공간에만 있는 새 관계.
2
L
아래 직육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 $\overline{AB}$ 와 평행한 모서리는?
① $\overline{DC}$ ② $\overline{EF}$ ③ $\overline{HG}$ ④ 위 셋 모두
직육면체에서 같은 방향(가로 위쪽-아래쪽-앞쪽-뒤쪽)인 모서리는 몇 개?
④ 위 셋 모두 $\overline{AB}$: 앞면 위쪽 가로. $\overline{DC}$: 앞면 아래쪽 가로 → 평행 ✓ $\overline{EF}$: 뒷면 위쪽 가로 → 평행 ✓ $\overline{HG}$: 뒷면 아래쪽 가로 → 평행 ✓ 같은 방향의 4개 모서리는 모두 평행.
3
L
직육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 $\overline{AB}$ 와 한 점에서 만나는 모서리는 모두 몇 개?
$\overline{AB}$의 양 끝점 A와 B에서 시작하는 다른 모서리들을 세요.
4개 A 에서 출발: $\overline{AD}$, $\overline{AE}$ (2개) B 에서 출발: $\overline{BC}$, $\overline{BF}$ (2개) 합 4개. ($\overline{AB}$ 자기 자신과 그 평행 3개는 제외)
1
M
직육면체 ABCD-EFGH 에서 모서리 $\overline{AB}$ 와 꼬인 위치인 모서리는 모두 몇 개?
전체 모서리 12 - $\overline{AB}$ 자신 1 - 평행 3개 - 만남 4개 = ?
4개 전체 모서리 12개. $\overline{AB}$ 자신 1개 빼고 11개. 그 중: • 평행: $\overline{DC}, \overline{EF}, \overline{HG}$ → 3개 • 한 점 만남: $\overline{AD}, \overline{AE}, \overline{BC}, \overline{BF}$ → 4개 • 꼬인 위치: 11 - 3 - 4 = 4개 (꼬인 위치는 $\overline{DH}, \overline{CG}, \overline{EH}, \overline{FG}$)
★ 꼬인 위치 카운트 공식: 전체 11 - 평행 3 - 만남 4 = 4. 직육면체에서 모든 모서리에 동일!
2
M
정육면체에서 한 면과 평행한 면은 몇 개?
정육면체의 6개 면 중 마주보는 면의 쌍은?
1개 정육면체 6면 = 마주보는 3쌍. 한 면의 평행한 면은 1개 (마주보는 면). 나머지 4개 면은 그 면과 모서리에서 만남.
3
M
직육면체 ABCD-EFGH 에서 면 ABCD 와 모서리 $\overline{EF}$ 의 위치 관계는?
면 ABCD는 어디 (앞면? 윗면? 옆면?), $\overline{EF}$는 어디?
평행 ($\overline{EF}$ 는 면 ABCD 와 평행) 직육면체 ABCD-EFGH 표기: 면 ABCD 는 앞면 (혹은 한쪽 면), 면 EFGH 는 그 마주보는 면. $\overline{EF}$ 는 마주보는 면 위에 있어 면 ABCD와 만나지 않음. $\therefore$ 직선 (모서리)와 평면의 평행.
1
H
정육면체에서 한 모서리와 수직인 모서리는 모두 몇 개? (수직 = 만나서 직각, 또는 꼬인 위치이면서 직각)
정육면체 모든 모서리는 가로·세로·높이 3방향. 한 모서리와 다른 두 방향 모서리들은 모두 수직.
8개 정육면체 12모서리 = 3방향 × 4개씩. 한 모서리와 같은 방향: 3개 (평행) → 수직 X 다른 두 방향: 각 4개씩, 총 8개. 모두 수직 ($90°$). 그 중 4개는 만남(직교), 4개는 꼬인 위치이면서 수직. 합 8개.
★ "수직"은 만남 외에 꼬인 위치이면서 직각도 포함! "꼬인 위치 = 안 만남"이지만 방향이 직각일 수 있음.
2
H
공간에서 세 직선 $l, m, n$ 이 있다. $l \parallel m$, $m \parallel n$ 이면 $l$ 과 $n$ 의 관계는? 평면의 경우와 비교하시오.
평행의 추이성 — 공간에서도 성립할까? 직육면체 모서리로 검증.
$l \parallel n$ (공간에서도 성립) 직육면체 가로 모서리 4개를 보면, 모두 서로 평행. "같은 방향"이라는 평행의 본질 → 공간에서도 추이성 성립. (평면과 같음: $l \parallel m$, $m \parallel n$ → $l \parallel n$)
★ 단, "수직"의 추이성은 공간에서 성립하지 않음. $l \perp m$, $m \perp n$ 이라도 $l \parallel n$ 이거나 꼬인 위치 가능.
3
H
직육면체 ABCD-EFGH 에서, 면 ABFE 와 면 DCGH 의 위치 관계는?
면 ABFE는 한쪽 옆면, 면 DCGH는 그 반대 옆면. 만나나?
평행 직육면체 ABCD-EFGH 에서: • 면 ABFE: A-B-F-E를 잇는 한쪽 옆면 (앞면 위쪽 + 뒷면 위쪽 모서리 사이) • 면 DCGH: D-C-G-H를 잇는 마주보는 옆면 두 옆면은 마주보고 만나지 않음 → 평행. (직육면체 6면 = 마주보는 3쌍의 평행면)