깊이 탐구 — 위치 관계 (평면·공간)

이 유형이 어려운 이유

평면에서 두 직선의 위치 관계는 단순해요 (3가지). 다만 "꼬인 위치"가 평면에 없다는 점을 빼먹으면 함정에 빠짐.

핵심 아이디어 — 3가지 (평면)

관계	특징	도형 예
한 점에서 만남	교점 1개	X 모양
평행	만나지 않음	= 모양
일치	완전히 겹침	한 직선

평면에서는 모든 직선이 같은 평면에 있어 "꼬인 위치" 불가능. 시험 단골 함정!

평행의 추이성 (평면)

$l \parallel m$, $m \parallel n$ $\Rightarrow$ $l \parallel n$

평면에서는 성립. (단, 공간에서도 성립 — 옆 탭 참조)

한 점에서 평행선은 1개 (유클리드 5번 공준)

평면에서 직선 $l$ 밖의 한 점 P를 지나며 $l$과 평행한 직선은 단 하나.

이 공준이 19세기 비유클리드 기하학(아인슈타인 일반 상대성!) 으로 이어짐.

자주 하는 실수

⚠️

"꼬인 위치"를 평면 답으로 선택

평면(2D)에서 모든 두 직선은 같은 평면 위 → 꼬인 위치 X. 공간(3D)에만 있음.

🤔

정사각형의 두 변 → 모두 평행이라고 답함

정사각형 ABCD: 마주보는 변(AB↔DC, BC↔DA)만 평행. 이웃한 변(AB↔BC)은 한 점에서 만남(수직).

추가 연습

PROBLEM 1 (L)

정사각형 ABCD 에서 변 $\overline{AC}$ (대각선) 와 변 $\overline{BD}$ (대각선) 의 위치 관계는?

한 점 (정사각형 중심) 에서 만남, 수직
정사각형의 두 대각선은 중심에서 만나고 직각.

PROBLEM 2 (M)

정육각형 ABCDEF 에서 변 $\overline{BC}$ 와 평행한 변은?

$\overline{EF}$
정육각형: 마주보는 변끼리 평행. AB ↔ DE, BC ↔ EF, CD ↔ FA.

PROBLEM 3 (H)

평면에 평행하지 않은 두 직선 $l, m$ 이 있다. 한 점 P가 $l$ 위에도, $m$ 위에도 없다. P를 지나며 $l$ 과도 $m$ 과도 평행한 직선이 존재할까?

존재하지 않음
P를 지나며 $l$과 평행한 직선은 1개 (5번 공준).
P를 지나며 $m$과 평행한 직선도 1개.
$l \not\parallel m$ 이라 두 직선이 다름. 따라서 한 직선이 둘 다와 평행할 수 없음.

이 유형을 이해하면

▸ 다음이 쉬워져요

• 공간 위치 관계 (옆 탭): 평면에 없는 "꼬인 위치"가 추가될 뿐
• 좌표평면 위 직선 (Unit 05): 기울기가 같으면 평행, 기울기 곱 = -1 이면 수직

이 유형이 어려운 이유 ★

평면(2D) 머릿속에서 갑자기 공간(3D)으로 넘어가면 직관이 흐려져요. 특히 "꼬인 위치"는 평생 처음 보는 관계.

핵심 함정:
① "만나지 않는다 = 평행"이 평면에서는 맞지만 공간에서는 틀림 (꼬인 위치도 안 만남)
② "수직"이 만남에만 있는 게 아니라 꼬인 위치이면서 직각일 수도

핵심 아이디어 — 4가지 도구

① 두 직선의 관계 (공간)

관계	만남?	같은 평면?
한 점에서 만남	O	O
평행	X	O
꼬인 위치	X	X

꼬인 위치 정의: 만나지 않으면서 같은 평면 위에도 없음. 평행과 다름!

② 직육면체에서 한 모서리와의 관계 카운트

전체 11 = 평행 3 + 만남 4 + 꼬인 위치 4

한 모서리(자기 자신 제외 11개) 중:

평행: 같은 방향 3개
한 점에서 만남: 양 끝점에서 출발하는 다른 모서리 2 + 2 = 4개
꼬인 위치: 11 - 3 - 4 = 4개

③ 직선과 평면의 관계

관계	설명
포함	직선이 평면 위에 모두 있음
한 점에서 만남	교점 1개
평행	만나지 않음

④ 두 평면의 관계

관계	설명
교선에서 만남	교선 (한 직선)
평행	만나지 않음
일치	완전히 겹침

두 평면이 만나는 모양은 점이 아닌 선(교선)이에요. 두 평면이 점 하나에서만 만날 수는 없음!

자주 하는 실수

⚠️

"꼬인 위치 = 안 만남" 으로 생각

평행도 안 만남. 꼬인 위치는 안 만남 + 같은 평면 X 두 조건 모두 필요.

🤔

"수직"을 만남에만 적용

두 직선이 꼬인 위치이면서 방향이 직각이면 수직 ✓ — 만나지 않아도 수직 가능.

📦

직육면체에서 평행 모서리 개수 잘못 셈

한 모서리와 같은 방향 모서리는 3개 (자기 자신 제외). 4개라고 답하면 자기 자신 포함한 것.

추가 연습

PROBLEM 1 (M)

정육면체에서 한 모서리와 꼬인 위치인 모서리는 모두 몇 개?

4개
정육면체 = 직육면체의 특수형. 카운트 공식 동일:
전체 11 - 평행 3 - 만남 4 = 4.

PROBLEM 2 (M)

직육면체에서 면 ABCD 와 한 점에서 만나는 모서리는 모두 몇 개?

4개
면 ABCD 위에는 4개 모서리(AB, BC, CD, DA — 면 위에 포함).
마주보는 면 EFGH 위에 4개 모서리(EF, FG, GH, HE — 평행).
나머지 4개 모서리(AE, BF, CG, DH)가 면 ABCD 와 한 점에서 만남.
$\therefore$ 4개.

PROBLEM 3 (H) — 수직의 함정

정육면체에서 한 모서리 $\overline{AB}$ 와 수직이면서 꼬인 위치인 모서리는 몇 개?

4개
$\overline{AB}$ 와 수직인 모서리 = 8개 (다른 방향 두 종류 × 4개).
그 8개 중 만남: $\overline{AD}, \overline{AE}, \overline{BC}, \overline{BF}$ → 4개.
꼬인 위치이면서 수직: 8 - 4 = 4개.
(예: $\overline{DH}, \overline{CG}, \overline{EH}, \overline{FG}$)

이 유형을 이해하면

▸ 다음이 쉬워져요

• 다면체와 회전체 (Unit 11): 모서리·면의 위치 관계 응용
• 입체도형의 겉넓이·부피 (Unit 12): 어떤 면이 만나는지·평행한지 분류
• 벡터·공간기하 (고등): 3D 좌표에서 직선·평면의 관계

유클리드의 마지막 한 마디

"기하학에는 왕도가 없습니다."

평면에서 익숙해진 다음, 공간으로 한 걸음씩.
2300년 전 유클리드의 학생들도 여러분과 같았어요.