분모에 $x$ 가 들어가면 유리함수(반비례·쌍곡선), 근호 안에 $x$ 가 들어가면 무리함수. 이들은 속력·농도·저항 같은 반비례 관계와, 진자·낙하 시간 같은 제곱근 관계를 나타낸다. 핵심은 점근선과 정의역.
⚖️
반비례 = 유리함수 y = k/x
"하나가 커지면 다른 하나가 작아진다"는 반비례가 유리함수의 원형. 일정한 일을 하는 사람 수와 걸리는 시간, 속력과 시간, 압력과 부피(보일 법칙)가 모두 $y = k/x$ 꼴이다.
➗ 유리함수 — 점근선
$y = \dfrac{k}{x - p} + q$ 의 $k, p, q$ 를 바꿔 보자. 그래프(쌍곡선)는 두 점근선 $x = p$, $y = q$ (주황 점선)에 한없이 가까워진다.
k2
p (좌우)1
q (상하)1
✅ 유리함수 y = k/(x−p) + q
점근선은 세로 $x = p$, 가로 $y = q$. 중심은 $(p, q)$. 기본형 $y = \dfrac{k}{x}$ 를 $x$ 축으로 $p$, $y$ 축으로 $q$ 만큼 평행이동한 것 (도형의 이동!). $k$ 의 부호로 곡선이 놓이는 사분면이 바뀐다.
✅ 정의역·치역
$y = \dfrac{k}{x-p} + q$ 의 정의역은 $x \ne p$ (분모 $\ne 0$), 치역은 $y \ne q$. 점근선이 곧 "닿을 수 없는 값".
✂️ 표준형으로 고치기 — 분리 변형
$y = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ 는 그대로 두면 점근선이 보이지 않는다. 분자를 분모로 나눠 $q + \dfrac{k}{x-p}$ 꼴로 고친다. 예 — $\dfrac{2x+5}{x+1}$ 에서 $2x + 5 = 2(x+1) + 3$ 이므로 $y = 2 + \dfrac{3}{x+1}$. 점근선은 $x = -1$, $y = 2$ 다. (분자에 남은 $3$ 이 아니라 앞의 상수 $2$ 가 가로 점근선이다.) 빠른 확인: 가로 점근선은 분자와 분모의 $x$ 계수의 비 $\dfrac{a}{c}$ 와 같다.
🧷 점근선과 지나는 점으로 식 세우기
조건이 점근선 두 개 + 지나는 점 하나로 주어지면 두 단계로 정한다. ① 점근선 $x = p$, $y = q$ 로 꼴을 세운다: $y = \dfrac{k}{x-p} + q$. ② 지나는 점을 대입해 $k$ 를 구한다. 예 — 점근선이 $x = 2$, $y = -1$ 이고 점 $(3,\ 1)$ 을 지나면 $\dfrac{k}{3-2} - 1 = 1 \Rightarrow k = 2$, 즉 $y = \dfrac{2}{x-2} - 1$. 분모의 부호와 상수항의 부호가 점근선과 반대로 보인다는 점이 실점 지점이다.
📈 정의역이 제한되면 — 최대·최소는 끝점에서
구간 안에 세로 점근선이 없으면 유리함수는 그 구간에서 계속 커지거나 계속 작아지므로, 최대·최소는 양 끝점에서 나온다. 예 — $2 \le x \le 4$ 에서 $y = \dfrac{6}{x-1} + 2$ 는 $x = 2$ 에서 $8$(최대), $x = 4$ 에서 $4$(최소). 가로 점근선 $y = 2$ 는 한없이 가까워지는 값일 뿐 실제로 취하는 값이 아니다 — 최솟값으로 쓰면 안 된다.
🔄 유리함수의 역함수
$y = \dfrac{k}{x-p} + q$ 에서 $x$ 와 $y$ 를 바꾸고 $y$ 에 대해 정리한다. $x = \dfrac{k}{y-p} + q \Rightarrow x - q = \dfrac{k}{y-p} \Rightarrow y = \dfrac{k}{x-q} + p$. 즉 점근선 $x = p$, $y = q$ 가 서로 자리를 바꾼다. 구한 뒤에는 원래 함수 위의 점 하나를 골라, $x$ 와 $y$ 를 바꾼 점이 역함수 위에 있는지 확인한다.
√ 무리함수 — 정의역
$y = \sqrt{x - p} + q$ 의 $p, q$ 를 바꿔 보자. 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역은 $x \ge p$. 시작점 $(p, q)$ 에서 오른쪽으로 뻗는 곡선.
무리함수는 근호 안 $\ge 0$ 을 푸는 것이 첫걸음. 예: $y = \sqrt{2x - 4}$ 는 $2x - 4 \ge 0$, 즉 $x \ge 2$ 가 정의역.
🧪 무리방정식 — 제곱한 뒤 반드시 확인
곡선 $y = \sqrt{x+6}$ 과 직선 $y = x$ 의 교점을 구할 때처럼, 근호가 있는 식을 등호로 놓으면 양변을 제곱해 푼다. $x + 6 = x^2 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3$ 또는 $x = -2$. 그런데 제곱하면 원래 방정식의 해가 아닌 근이 생길 수 있다. $x = -2$ 를 넣으면 좌변은 $2$, 우변은 $-2$ 로 같지 않다. 답은 $x = 3$ 뿐이다. 좌변 $\sqrt{\ }$ 는 항상 $0$ 이상이므로 우변도 $0$ 이상이어야 한다는 점만 봐도 음수 해는 걸러진다.
◀️ 근호 안의 x 계수가 음수면 — 왼쪽으로 뻗는다
정의역은 근호 안의 식만으로 정해진다. $y = \sqrt{6-2x} + 1$ 이면 $6 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$ 으로, 그래프가 시작점에서 왼쪽으로 뻗는다. ($x$ 의 계수가 음수라 부등호가 뒤집힌다.) 근호 앞의 마이너스는 정의역을 바꾸지 않고 그래프를 위아래로 뒤집을 뿐이다: $y = -\sqrt{1-x}$ 의 정의역은 $y = \sqrt{1-x}$ 와 같은 $x \le 1$. 정의역이 제한되면 최대·최소는 끝점에서 나온다. $2 \le x \le 6$ 에서 $y = \sqrt{x-2}+3$ 의 최댓값은 $x = 6$ 일 때 $5$.
무리함수는 근호 안 $\ge 0$ 이 정의역. $y = \sqrt{x-p}+q$ 는 $x \ge p$.
둘 다 기본형의 평행이동 — 도형의 이동에서 배운 그 원리.
💡 인사이트 — 함수는 서로 연결된다
$y = \sqrt{x}$ 는 $y = x^2\,(x \ge 0)$ 의 역함수. 유리·무리함수의 평행이동은 "도형의 이동" 그대로다. 이렇게 이차함수·이동·역함수·그래프가 하나로 이어진다 — 공통수학의 큰 그림.
📐 점근선 — 절대 못 넘는 선이라는 사고방식
점근선은 "그래프가 끝없이 다가가지만 절대 닿지 않는 선"이다. 이 모양은 수학 밖에서도 계속 나타난다 — 경제학의 한계효용체감(같은 걸 더 먹을수록 만족감의 증가분 자체는 점점 줄어든다), 생물학의 로지스틱 성장(개체 수가 환경이 버틸 수 있는 한계에 다가가며 느려진다), 물리학의 종단속도(계속 떨어져도 공기저항 때문에 속도가 어떤 값 이상은 안 늘어난다)까지. 함수의 식은 다 다르지만 "무한히 노력해도 못 넘는 한계가 있다"는 사고방식은 똑같다 — 유리함수의 점근선이 그 사고방식을 가장 단순하게 그림으로 보여준다.
🏠 유리·무리함수가 숨어 있는 곳
⏱️
속력·시간
시간 = 거리/속력 (반비례)
🎈
보일 법칙
압력·부피 반비례
🕰️
진자 주기
주기 ∝ √(길이)
📉
감속·저항
√·분수 관계
🏭 산업과 직업 — 관계를 모델링하다
🔬
물리·화학 연구 반비례(보일 법칙)·제곱근(진자·확산)을 함수로 모델링. 🎓 물리 · 화학 · 재료
📊
데이터·경제 분석 수확체감·반비례 관계를 유리·무리함수로 근사. 🎓 경제 · 통계 · 데이터사이언스
🛠️
공학 설계 저항·유량·응력의 비선형 관계를 함수로 계산. 🎓 기계 · 전자 · 토목공학
🔥 유리·무리함수 퀴즈
문제 1 / 10점수 0 / 10
✅ 정리 — 유리·무리함수
함수
핵심
$y=\dfrac{k}{x}$
반비례, 점근선 $x=0, y=0$, 원점대칭
$y=\dfrac{k}{x-p}+q$
점근선 $x=p, y=q$, 정의역 $x \ne p$
$y=\sqrt{x}$
정의역 $x \ge 0$, $y=x^2(x \ge 0)$의 역함수
$y=\sqrt{x-p}+q$
시작 $(p,q)$, 정의역 $x \ge p$
🔑 한 줄 요약
유리함수는 점근선 $x=p, y=q$ 를 먼저 찾고, 무리함수는 근호 안 $\ge 0$ 으로 정의역을 먼저 찾는다. 둘 다 기본형의 평행이동.
자가 점검
약점 태그
수학:유리함수수학:점근선수학:무리함수수학:정의역
➡️ 공통수학2 완주!
도형의 방정식 · 집합과 명제 · 함수와 그래프를 모두 마쳤다. 공통수학2 허브로 돌아가 복습하자.